几何证明选讲[选修4－1]
第一节 相似三角形的判定及有关性质
第二节 直线与圆的位置关系
目 录
几何证明选讲[选修4－1]
[知识能否忆起]
一、平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
二、平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段 ．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段 ．
成比例
成比例
三、相似三角形的判定与性质
1．判定定理：
两角
两边
三边
夹角
2．性质定理
相似比
相似比的平方
相似比的平方
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的
；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的
比例中项
比例中项
四、直角三角形的射影定理
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)如图，AB∥EM∥DC，
　AE＝ED，EF∥BC，EF＝12 cm.则BC
　的长为________．
答案：24 cm
解析：由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各有一个公共锐角，
因而它们相似．又易知∠BFE＝∠A，故
Rt△ACE∽Rt△FBE.
答案：△FCD，△FBE，△ABD
答案：1∶4
答案：3
5．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.
若BC＝m，∠B＝α，则AD长为________．
答案：mcos αsin α
1.使用平行截割定理时要注意对应线段、对应边对应成比例，对应顺序不能乱．
　　2．相似三角形判定定理的作用：
　　(1)可以判定两个三角形相似．
　　(2)间接证明角相等、线段长成比例．
　　(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件．
平行线分线段成比例定理的应用
[例1]　(2011·广东高考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．
[答案]　7∶5
比例线段常由平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而又必须转移比例时，常通过添加辅助平行线达到转移比例的目的．
答案：46
相似三角形的判定及性质
[例2]　(2012·新课标全国卷)如图，D，
E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线
DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若
CF∥AB，证明：
　　(1)CD＝BC；
　　(2)△BCD∽△GBD.
1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系；
　　2．注意辅助线的添加，多数作平行线；
　　3．相似三角形的性质可用来考查与相似三角形相关的元素，如三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的直径等．
射影定理的应用
[答案]　5
1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”；
2．证题时，作垂线构造直角三角形是解该问题的常用方法．
答案：5
[知识能否忆起]
一、圆周角定理
1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ．
2．圆心角定理：圆心角的度数等于 ．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 ．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 ；90°的圆周角所对的弦是 ．
一半
它所对弧的度数
相等
相等
直径
直角
二、圆内接四边形的性质与判定定理
1．性质定理
定理1：圆内接四边形的对角 ．
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的 ．
2．判定定理
判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 ．
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 ．
互补
对角
共圆
共圆
三、圆的切线的性质及判定定理
1．性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过 ．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过 ．
2．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ．
四、弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的 ．
半径
切点
圆心
切线
圆周角
五、与圆有关的比例线段
1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 相等．
2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 相等．
3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 ．
4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 ．
积
积
比例中项
夹角
1．(教材习题改编)如图所示，在△ABC中，
∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为
直径的圆与斜边交于点P.则BP的长为________．
[小题能否全取]
解析：连结CP，由推论2知∠CPA＝90°，
即CP⊥AB，由射影定理知，
AC2＝AP·AB，∴AP＝3.6，
∴BP＝AB－AP＝6.4.
答案：6.4
2．(教材习题改编)如图，⊙O中弦AB、
CD相交于点F，AB＝10，AF＝2，
若CF∶DF＝1∶4.则CF的长为________．
答案：2
3.如图，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝
1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连
结PD交圆O于点E，则PE＝________.
4．(2012·太原模拟)如图，⊙O是△ABC
的内切圆，切点分别是D、E、F，
已知∠A＝100°，∠C＝30°，则∠DFE的度数是
________．
答案：65°
1.与圆有关的辅助线的五种作法：
　　(1)有弦，作弦心距；
　　(2)有直径，作直径所对的圆周角；
　　(3)有切点，作过切点的半径；
　　(4)两圆相交，作公共弦；
　　(5)两圆相切，作公切线．
　　2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．
圆周角、弦切角和圆的切线问题
[例1]　(2012·广东高考)如图所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．
2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．
1．(2012·惠州调研)已知PA是圆O的切
　 线，切点为A，直线PO交圆O于B，C
两点，AC＝2，∠PAB＝120°，则圆
O的面积为________．
答案：4π
答案：1
四点共圆问题
[例2]　(2012·郑州模拟)如图，锐角三角形ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．
(1)求证：四点A，I，H，E共圆；
(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．
判断四点共圆的步骤
(1)观察几何图形，找到一定点、一对对角或一外角与其内对角；
(2)判断四点与这一定点的关系；
(3)判断四边形的一对对角的和是否为180°；
(4)判断四边形一外角与其内对角是否相等；
(5)下结论．
3．(2012·乌鲁木齐模拟)如图，BA是⊙O
的直径，延长BA至E，使得AE＝AO，
过E点作⊙O的割线交⊙O于D、C，
使得AD＝DC.
(1)求证：OD∥BC；
(2)若ED＝2，求⊙O的内接四边形ABCD的周长．
[例3]　(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.
相交弦、切割线定理的应用
证明：(1)AC·BD＝AD·AB；
(2)AC＝AE.
解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及推论；
(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，要灵活把握．
4．(2012·泉州模拟)如图，AB为圆O的直
径，P为圆O外一点，过P点作PC⊥AB
于C，交圆O于D点，PA交圆O于E点，
BE交PC于F点．求证：
(1)∠P＝∠ABE；
(2)CD2＝CF·CP.