第五节 合情推理与演绎推理
1.推理
（1）定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新
的判断的_________.
（2）分类：推理一般分为_________与_________两类.
思维过程
合情推理
演绎推理
2.合情推理
每一个事物都有这种
属性
类似
其他特征
类似
部分
整体
个别
一般
特殊
特殊
3.演绎推理
(1)定义：演绎推理是根据_______________________，按照
严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.
(2)特点：由_____到_____的推理.
一般性命题
似性
一致性
个别
相同性质
相
已知的事实和正确的结论
一般
特殊
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.( )
（2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( )
（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )
(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )
(5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确.( )
【解析】（1）错误.归纳推理和类比推理所得到的结论都不一定正确.
（2）正确.这是类比推理，属于合情推理.
（3）错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，而平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.
(4)正确.这是三段论推理，但其大前提错误，所以结论也是错误的.
(5)错误.在演绎推理中，结论是否正确，不仅要看是否符合三段论的形式，还要看大前提、小前提等是否正确.
答案：（1）× （2）√ （3）× (4)√ (5)×
1．下列推理是归纳推理的是( )
(A)A，B为定点，动点P满足||PA|-|PB||=2a＜|AB|（a＞0），
则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
(B)由a1=2，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n
项和Sn的表达式
(C)由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆 的面积
S=πab
(D)科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
【解析】选B.A为演绎推理，C，D为类比推理.
2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为
复数集)
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，
则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类
比推出“若a，b，c，d∈Q，则 ⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，
则a－b＞0⇒a＞b”．
其中类比得到的结论正确的个数是( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【解析】选C.由复数以及实数的性质可知①②是正确的类比，其结果是正确的，而类比③得到的结论是错误的，例如：a=2+i,b=1+i，有a-b=1>0，但不能有2+i>1+i，因为虚数不能比较大小.
3.设 记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x)),
则f2 012(0)=( )
(A)0 (B)1 (C)-1 (D)不存在
【解析】选A.
所以f5(x)=f1(x)，f6(x)=f2(x)，…，
f2 012(x)=f4(x)=x，故f2 012(0)=0.
4．已知a0≠0，a1≠0，a2≠0,a3≠0,设方程a0x+a1=0的一个
根是x1,则 方程a0x2+a1x+a2=0的两个根是x1,x2，则
由此类推方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0的三个根是x1,x2,x3，则x1+x2+x3=( )

【解析】选A.由给出的一次方程、二次方程的根之和与系数
的关系可得.
考向 1 归纳推理
【典例1】(1)(2012·江西高考)观察下列各式：a+b=1，
a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11，…，则a10+b10
＝( )
(A)28 (B)76 (C)123 (D)199
(2)设 先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)
+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.
【思路点拨】(1)分析从第三个式子开始，其值与前两个式子
的值的和，发现其中的规律.
（2）由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),
f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x)的值.
【规范解答】(1)选C.利用归纳法，a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4=3+1，
a4+b4=7=4+3，a5+b5=11=7+4，a6+b6=18=11+7，a7+b7=29=18+11，a8+b8=47=29+18，a9+b9=76=47+29，规律为从第三组开始，其结
果为前两组结果的和，故a10+b10=76+47=123.
(2)
【互动探究】利用本例第(2)题中的结论计算f(-2 012)+
f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)的值.
【解析】由本例第(2)题中的结论f(x)+f(1-x)= 得
方法一：f(-2 012)+f(2 013)=
f(-2 011)+f(2 012)=
故f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)
=
方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(2 013)
则S=f(2 013)+f(2 012)+…+f(-2 012)，
∴2S=4 026［f(-2 012)+f(2 013)］=4 026×
【拓展提升】归纳推理的步骤与技巧
(1)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.
(2)归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考察的个体越多，归纳的结论可靠性越大．因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论.
【变式备选】(1)（2013·鹰潭模拟）观察下列等式：
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-44=-10
…
由以上等式推测到一个一般的结论，对于n∈N*，12-22+32-42+…+（-1）n+1n2=_______.
【解析】由上述已知等式的特点，可得12-22+32-42+…+
（-1）n+1n2=
答案：
(2)（2012·长沙模拟）下列一组不等式：
将上述不等式在左右两端仍为两项和
的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特
例，则推广的不等式为_________.
【解析】观察所给的三个不等式中不等号左右两边的各项的
次数之间的关系可得.
答案：am+n+bm+n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0)
考向 2 类比推理
【典例2】（1）（2013·西安模拟）按照下面三种化合物的结构式及分子式规律，写出后一种化合物的分子式是( )
(A)C4H7 (B)C4H8 (C)C4H9 (D)C4H10
（2）（2013·太原模拟）若等差数列{an}的首项为a1，公差
为d，前n项的和为Sn，则数列 为等差数列，且通项为
类似地，请完成下列命题：若各项均为正数
的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则
__________．
【思路点拨】（1）观察C，H的变化特点，类比出后一个化合
物的分子式.
（2）“除”与“开方”相类比，即
“加”与“乘”相类比，
【规范解答】（1）选D.由前三种化合物的结构式及分子式规
律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C和两个H，故后
一种化合物的分子式为C4H10.
（2）因为Tn=b1·b2·b3·…·bn= ·q1+2+3+…+(n-1)
所以数列 是首
项为b1，公比为 的等比数列，其通项为
答案：数列 为等比数列，且通项为
【拓展提升】
1.类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).
2.熟悉常见的类比对象
(1)平面与空间的类比
(2)等差数列与等比数列的类比
【变式训练】（1）在平面上，若两个正三角形的边长的比为
1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正
四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为_______．
【解析】
答案：1∶8
（2）（2013·宁德模拟）若{an}是等差数列，m,n,p是互不相
等的正整数，则有：(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0，类比上述性
质，相应地，对等比数列{bn}，m,n,p是互不相等的正整数，
有________.
【解析】由等差数列与等比数列的性质易得结论.
答案：
【易错误区】归纳推理不当致误
【典例】（2012·陕西高考）观察下列不等式：
照此规律，第五个不等式为__________.
【误区警示】本题在解答中容易出现以下错误：（1）对于给
定的式子，只观察其结果，而不去继续探究下面几个式子，从
而找不到正确的规律而误解.（2）错误地以为：第几个式子，
其左边的最后一项的分母就是几的平方，从而，错误地得到第
五个不等式为
【规范解答】左边的式子的通项是 右边
的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左
边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为

答案：
【思考点评】多角度分析规律
通过归纳推理，得到一般规律时，要仔细观察不等式两边式子的特点，从各个不同的角度分析规律，总结不等式中指数、项数、分子、分母之间的数量关系，由此得到一般规律.
1．（2013·南昌模拟）为保证信息安全传输，有一种秘密密码加密系统，其加密、解密的原理如图.

现在加密密钥为y=loga（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”，问：若接受方接到密文“4”，则解密后的明文为
( )
(A)12 (B)13 (C)14 (D)15
【解析】选C.∵加密密钥为y=loga（x+2），
由其加密解密原理可知，
当x=6时，y=3，∴a=2，
不妨设接受方接到密文为“4”的明文为b，
则有4=log2（b+2），
∴b+2=24=16，∴b=14.
2.（2013·合肥模拟）给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论正确的个数是( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【解析】选B.根据所学知识知 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,故①与②都是错误的，只有③正确．
3.（2013·赣州模拟）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，
S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列，类比以上结论有：设等比
数列{bn}的前n项和为Tn，则T4，_______，_______， 成等
比数列.
【解析】由等差数列中的“差”，类比等比数列中的“商”，
成等比数列.
答案：
1.已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,…，以此类推，第5个等式为( )
（A）24×1×3×5×7=5×6×7×8
（B）25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9
（C）24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
（D）25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
【解析】选D.由已给出的规律，第4个等式为24×1×3×5×7
=5×6×7×8，第5个等式为：25×1×3×5×7×9=6×7×8×
9×10，选D.
2.在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>
a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( )
（A）b4+b8>b5+b7 （B）b4+b8（C）b4+b7>b5+b8 （D）b5·b8【解析】选A.在等差数列{an}中，由4+6=3+7时有a4·a6>
a3·a7，得在等比数列{bn}中，由4+8=5+7，应有b4+b8>b5+b7，
证明：b4+b8-b5-b7=b1q3+b1q7-b1q4-b1q6
=b1q3(1+q4-q-q3)=b1q3［q3(q-1)-(q-1)］
=b1q3(q3-1)(q-1)>0,
∴b4+b8>b5+b7.