第四节 简单线性规划
1.二元一次不等式（组）表示的平面区域
（1）直线l：ax+by+c=0
ax+by+c=0
ax+by+c＜0
(2)二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线
ax+by+c=0某一侧的_________且不含边界，作图时边界直线画
成_____，当我们在坐标系中画不等式ax+by+c≥0所表示的平
面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成_____.
平面区域
虚线
实线
(3)由于对直线ax+by+c=0同一侧的所有点（x,y），把点的坐
标（x,y）代入ax+by+c,所得到实数的符号都_____，所以只需
在此直线的某一侧取一个特殊点（x0,y0），从ax0+by0+c的___
___即可判断ax+by+c >0（＜0）表示直线哪一侧的平面区域.
当c≠0时，常取_____作为特殊点.
相同
正
负
原点
2.线性规划的有关概念
一次
线性
解(x，y)
集合
最大值
最小值
最大值
最小值
3.解二元线性规划问题的一般步骤
（1）在平面直角坐标系中画出_______.
（2）分析_________的几何意义，将目标函数进行变形.
（3）确定_______.
（4）求出___________.
可行域
目标函数
最优解
最值或范围
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( )
（2）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.
( )
（3）线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )
（4）线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )
（5）目标函数z=ax+by(b≠0)中，z的几何意义是直线
ax+by-z=0在y轴上的截距.( )
（6）目标函数z=(x-a)2+(y-b)2的几何意义是点(x,y)与
(a,b)的距离.( )
【解析】（1）错误.不等式Ax+By+C>0表示的平面区域也可能在直线Ax+By+C=0的下方，这要取决于A与B的符号.
（2）错误.不一定，如果二元一次不等式组的解集为空集，它就不表示任何区域.
（3）正确.当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平行时，最优解可能有无数多个.
（4）正确.线性目标函数都是通过平移直线，在与可行域有公共点的情况下，其最值即在边界或端点处取到，因此其取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.
（5）错误.由ax+by-z=0可得 才是该直线
在y轴上的截距.
（6）错误.其几何意义应该是点(x,y)与(a,b)的距离的平方.
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）√ （5）×
（6）×
1.若点(m,1)在不等式2x+3y-5>0所表示的平面区域内，则m的取值范围是( )
(A)m≥1 (B)m≤1
(C)m<1 (D)m>1
【解析】选D.依题意有2m+3-5>0，解得m>1.
2.若x,y满足约束条件 则z=3x-y的最小值是( )
(A)-2 (B)-3 (C)-4 (D)-5
【解析】选C.z=3x-y⇒y=3x-z,
作出可行域，由图可知过A点时
z取最小值，把点A(0,4)代入，
可得z=-4.
3.已知点P（x,y）的坐标满足条件 则x2+y2的最大值
为( )
(B) (C)8 (D)10
【解析】选D.画出不等式组对应的
可行域如图所示：易得A（1，1），
OA＝ B（2，2），
C（1，3）， 故|OP|的
最大值为 即x2+y2的最大值
等于10，故选D.
4.某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
(A)2 000元 (B)2 200元
(C)2 400元 (D)2 800元
【解析】选B.设甲型货车使用x辆，
乙型货车使用y辆.则
所花运费为
z=400x+300y.画出可行域（如图），
由图可知当直线z=400x+300y经过点A(4,2)时，z取最小值，最
小值为zmin=2 200，故选B.
5.已知实数x，y满足 则此不等式组表示的平面区
域的面积为_______.
【解析】作可行域为

∴所求面积为
答案：3
考向 1 平面区域的相关问题
【典例1】（1）（2013·太原模拟）已知不等式组
(a>0)表示的平面区域的面积是 则a等于( )
(B)3 (C) (D)2
(2)(2012·福建高考)若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束
条件 则实数m的最大值为( )
【思路点拨】（1）先画出不等式组所表示的平面区域，由于a>0，其形状基本确定，是一个三角形，然后根据三角形的面积公式求解.
(2)画出不等式组所表示的平面区域，然后结合指数函数y=2x的单调性及图象特征确定区域边界点的位置，从而求出m的值.
【规范解答】（1）选A.画出平面区域，可知该区域是一个三
角形，设该三角形高为h，其面积等于 所以
解方程组
选A.
(2)选B．如图，
当y=2x经过且只经过x+y-3=0和
x=m的交点时，即三条曲线有唯
一公共点时，m取到最大值，此
时，即(m,2m)在直线x+y-3=0上，
由选项知，m的最大值为1．
【互动探究】本例题（2），若约束条件中的m=0，那么当函数y=2x+h的图象上存在点满足约束条件时，实数h的取值范围是___________.
【解析】画出可行域，由图形可知，当函数y=2x+h的图象经过点（0,3）和点(3,0)时，和区域只有一个公共点，此时h的值分别等于2和-8，因此要使函数图象上存在点满足约束条件，实数h的取值范围应是-8≤h≤2.
答案：-8≤h≤2
【拓展提升】平面区域问题的求解思路
求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时，要以数形结合思想方法为核心，充分利用函数图象与方程曲线的特征（增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等），与平面区域的位置和形状联系起来，对参数的取值情况分析讨论，进行求解.
【变式备选】若不等式组 表示的平面区域为M，
当抛物线y2=2px(p>0)与平面区域M有公共点时，实数p的取值
范围是( )
(A)(0,2］ (B)
(D)
【解析】选D.作出平面区域（如图），可以求得A(1,2),B(2,1)，代入抛物线方程可得p=2,
所以
考向 2 线性规划的相关问题
【典例2】（1）（2013·望江模拟）设点M（x，y）是不等式
组 表示的平面区域Ω内一动点， 则
（O为坐标原点）的最大值为( )
(A)8 (B)6 (C)4 (D)2
（2）设变量x,y满足约束条件： 则 的最
大值为( )
(B) (C)1 (D)不存在
（3）（2013·宁波模拟）已知实数x,y满足 目标
函数z=ax-y的最小值和最大值分别为-2和2，则a的值为______.
【思路点拨】（1）将 用x，y表示后，利用解决线性规
划问题的一般步骤解题.
（2）非线性目标函数，借助斜率模型进行求解.
（3）线性规划逆向性问题，可行域已经确定，可对目标函数
中的参数a进行分类讨论，确定最优解，从而求出a的值.
【规范解答】（1）选B.
作出可行域为
当直线l： 过点 时z取最大值
（2）选B.画出可行域（如图），
又 表示(x,y)与定点P(-2,0)连线的斜率，所以当(x,y)
在点A(0,1)时 取到最大值
（3）画出可行域（如图所示）.
由z=ax-y得y=ax-z，显然当a=0时，z的最大值和最小值分别为0和-2，不合题意.
若a>0，则z=ax-y在A(2,2)处取得最大值2，
在 处取得最小值-2，
因此有 解得a=2，符合题意；
若a<0，则z=ax-y在A(2,2)处取得最小值-2，
在 处取得最大值2，
因此有 无解.
综上可知，a的值为2.
答案：2
【互动探究】本例题（2）中，若约束条件不变，将目标函数
变为z=x2+2x+y2，则其最大值等于_______.
【解析】由于z=x2+2x+y2=
(x+1)2+y2-1=
所以它表示可行域内的点(x,y)
与定点M(-1,0)之间距离的平方
再减去1.由图形可知，当点(x,y)在点B(2,1)时与点M的距离最
大，这时|MB|= 所以z的最大值为
答案：9
【拓展提升】线性规划中的参数问题及其求解思路
（1）线性规划中的参数问题，一般是已知目标函数的最值或最优解，求约束条件或目标函数中所含参数的取值或范围.
(2)解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值.
【提醒】目标函数中出现类似(x-a)2+(y-b)2的形式时，应注意它是指点(x,y)与定点(a,b)之间的距离的平方，而不是两点间的距离.
【变式备选】在平面直角坐标系中，若点（x,y）在不等式组
（a为正数）所表示的平面区域内，且z=2x+y的最大
值为6，则该区域的面积等于( )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)6
【解析】选C.画出可行域（如图），当直线y=-2x+z经过M(a,a)
时z取到最大值，所以2a+a=6，得a=2.这时可行域的面积为
考向 3 线性规划的实际应用
【典例3】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
【思路点拨】设出午餐和晚餐的单位个数，列出不等式组和费用关系式，利用线性规划求解.
【规范解答】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,
则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足
作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分内的整数点,
将目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B（4,3）处取得最小值.
因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.
【拓展提升】求解线性规划应用题的注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号.
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x,y的取值范围，特别注意分析x,y是否是整数、是否是非负数等.
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.
【变式训练】（2013·南昌模拟）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．甲产品每吨利润为5万元，乙产品每吨利润为3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业的最大利润为________．
【解析】设生产甲产品x吨，乙产品y吨，利润为z万元，由题
意可得 目标函数为z＝5x＋3y，作出如图所示
的可行域(阴影部分)．
当直线5x＋3y＝z经过A(3,4)时，
z取得最大值，
∴zmax＝5×3＋3×4＝27（万元）.
答案：27万元
【易错误区】忽视对参数的分类讨论致误
【典例】（2013·长沙模拟）已知x,y满足约束条件|x|+2|y|≤2，且z=y-mx(m≠0)的最小值等于-2，则实数m的值等于___________.
【误区警示】本题容易出现的错误主要有两个方面：
（1）没有将绝对值不等式转化为不等式组，画不出正确的可行域.（2）没有对参数m的取值情况进行分类讨论，造成漏解，只得到m=1.
【规范解答】原不等式等价于以下四个不等式组：

因此可画出可行域（如图）：由z=y-mx得y=mx+z.
（1）当 时，由图形可知，目标函数在点A(2,0)处取得最
小值，因此-2=0-2m，解得m=1.
（2）当 时，由图形可知，目标函数在点D(0,-1)取得
最小值，因此-2=-1-m×0,m无解.
（3）当 时，由图形可知，目标函数在点C(-2,0)处取得
最小值，因此-2=0+2m，解得m=-1.
（4）当 时，由图形可知，目标函数在点D(0,-1)取
得最小值，因此-2=-1-m×0，m无解.
综上，实数m的值等于1或-1.
答案：1或-1
【思考点评】
1.含绝对值不等式表示区域的画法
含有绝对值的不等式所表示的平面区域，应该根据变量的取值情况，将不等式中的绝对值符号去掉，化为几个不等式组，把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含绝对值不等式所表示的平面区域.
2.正确运用分类讨论的方法
本题是已知目标函数的最值求参数的值的问题，这类问题的特点是目标函数中含有参数，参数的不同取值将要影响到最优解的位置，因此要根据可行域边界直线的斜率与目标函数对应直线斜率的大小关系，对参数的取值情况进行分类讨论，在运动变化中寻找问题成立的条件，从而得到参数的取值.如果在约束条件中含有参数，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解.
1.（2012·广东高考）已知变量x，y满足约束条件
则z=3x+y的最大值为( )
(A)12 (B)11 (C)3 (D)-1
【解析】选B.作出如图所示的可行域，当直线z=3x+y经过点B（3，2）时，z取得最大值，最大值为11.
2.（2013·池州模拟）已知x，y满足线性约束条件
若a=（x，-2），b=（1，y），则z=a·b的最大值为( )
(A)-1 (B) (C)5 (D)7
【解析】选C.作可行域如图，
z=a·b=x-2y,
当直线z=x-2y过点B时，z取最大值，
zmax=3-2×（-1）=5.
3.(2013·渭南模拟)若实数x，y满足 则z=3x+2y
的最小值是( )
(A)1 (B)0 (C) (D)9
【解析】选A.令m=x+2y，作可行域（如图）.

当直线m=x+2y过点B（0，0）时，m取得最小值，即z取得最小值，
则mmin=0+2×0=0，
∴zmin=30=1.
4.(2013·长安模拟)已知实系数一元二次方程x2+（1+a）x+a
+b+1=0的两个实数根为x1，x2，且0＜x1＜1，x2＞1，则 的
取值范围是( )
(A)（-1， ］ (B)（-1， ）
(C)（-2， ］ (D)（-2， ）
【解析】选D.由题意
作可行域为
5.（2012·江西高考）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最
大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( )
(A)50,0 (B)30,20
(C)20,30 (D)0,50
【解析】选B.设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩,总利润为z万元，则目标函数为
z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.
线性约束条件为
作出可行域如图所示，易求得点A（0，50），B（30，20），
C（0，45）.
平移直线z=x+0.9y，可知当直线z=x+0.9y经过点B(30,20),即x=30,y=20时，z取得最大值，且zmax=48（万元）.故选B.
1.若x,y满足约束条件 且z=log3(2x+y)，则z( )
(A)既有最大值也有最小值
(B)有最大值无最小值
(C)有最小值无最大值
(D)既无最大值也无最小值
【解析】选B.画出可行域（如图），令u=2x+y，则y=-2x+u，由图形可知，当直线y=-2x+u经过点A(2,-1)和点B(-1,-1)时，u分别取得最大值3和最小值-3，而z=log3(2x+y)，故z只有最大值，没有最小值.
2.若不等式组 （a>0）表示的平面区域的面积为5，
且直线mx-y+m=0与该平面区域有公共点，则m的最大值是( )
(A) (B) (C)0 (D)
【解析】选A.画出可行域（如图），
可求得A(a,2a)， 三角形
区域的面积为 所以
解得a=2，这时A(2,4).
而直线mx-y+m=0可化为y=m(x+1)，
它经过定点P(-1,0)，斜率为m，由图形知，当直线经过点A
时，斜率m取最大值，且 故m的最大值是