第四节　不等式的解法
x∈Ø
x∈R
2．一元二次不等式的解法：设a＞0，x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两实根，且x1＜x2，一元二次不等式的解集如下表所示：
f(x)·g(x)＞0
4．简单的一元高次不等式的解法
一元高次不等式f(x)＞0，用序轴标根法(或称区间法、穿根法)求解，其步骤是：
(1)将f(x)的最高次项的系数化为正数；
(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；
(4)根据曲线显现出f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集；
(5)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过．
1．解不等式的基础是一元一次不等式(组)、一
元二次不等式(组)，而解不等式的关键是同解
变形，变形规律是：无理→有理；分式→整式；高次→低次；二次→一次．在此过程中，要注意逻辑联结词“或”、“且”的运用，以及解集的“交”、“并”的运算，在较复杂情况下，可画出求“交”、“并”集，以免出错．
[解]　(1)解法一：∵(x－6)2≥0.
∴x2－4≤0，
由x2－4≤0，得－2≤x≤2，
但x＝6时，也符合题意，
故原不等式的解集为：{x|－2≤x≤2或x＝6}．
解法二：原不等式变形为：(x＋2)(x－2)(x－6)2≤0，利用序轴标根法，画出图如图所示的．
∴原不等式的解集为：{x|－2≤x≤2或x＝6}．
[规律总结]　(1)采用列表法和序轴标根法没有什么本质区别，但用后者更简捷，要注意平方因式，如(x－6)2的特点．
(2)此题需移项通分，经因式分解变形，对出现的二次式注意是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理，另外，此题也可用序轴标根法求解．解分式不等式时，注意分母不能为零.
[分析]　将对数不等式转化为一元二次不等式(组)求解．
备选例题 2　若将本例中的不等式改为ax2－x－2＞a2x－2(a＞0且a≠1)，又该如何求解？
解：当a＞1时，
不等式等价于x2－x－2＞2x－2，
解得x＞3或x＜0，
当0＜a＜1时，不等式等价于x2－x－2＜2x－2，
解得0＜x＜3.
综上，当a＞1时，原不等式的解集为
(－∞，0)∪(3，＋∞)，
当0＜a＜1时，原不等式的解集为(0,3).
[分析]　含参数不等式的求解，要视参数为常数，按照通常求解不等式的过程进行求解，直到会出现几种可能时，再分类讨论．解含参数不等式时应尽可能向同类型不含参数不等式接近．
例4　已知不等式2x－1＞m(x2－1)．
(1)若对于所有的实数x不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于m∈[－2,2]不等式恒成立，求实数x的取值范围．
[分析]　(1)题可直接利用一元二次不等式恒成立的充要条件求解．
(2)题已知m的范围，可先分离出m，利用m的有界性求x的范围．
[规律总结]　解答不等式恒成立问题通常是借助函数思想或方程思想，利用函数图象，函数最值或判别式的方法来解决求参数的问题.
备选例题 4　已知不等式ax2－2x＋1＞0.
(1)若不等式的解集为R，求a的取值范围；
(2)若不等式的解集为Ø，求a的取值范围．
解：(1)若a＝0，不等式化为－2x＋1＞0，其解集不是R，不符合题意；
[错因分析]　易忽视对a的讨论，导致解题不全.