第三节　不等式的证明
1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它可分为 、 ．
(1)作差法
①理论依据：a＞b⇔ ；
a＜b⇔ ；
a＝b⇔ ；
②证明步骤： ―→ ―→ ．
作差法
作商法
a－b＞0
a－b＜0
a－b＝0
作差
变形
判断符号
作商
变形
判断与
1的关系
2．分析法
从让求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的 ，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法叫分析法．分析法的思想是“ ”：即从求证的不等式出发，探求使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式．
采用分析法证明不等式时，常用“ ”的符号，有时，若为充要条件时，也常用“ ”的符号．证明过程常表示为“要证……只要证……”．
充分
条件
执果
索因
⇐
⇔
3．综合法
所谓综合法，就是从 和已经证明过的基本不等式和不等式的 推导出所要证明的不等式成立，可简称为 ．
在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用．
常用的基本不等式有：
(1)|a|≥0，a2≥0，(a±b)2≥0，(a，b∈R)；
(2)a2＋b2≥2ab，(a±b)2≥0，(a，b ，当且仅当a＝b时取等号)；
题设条件
性质
由因导果
∈R
＞0
＞0
＞
ab≤0
ab≥0
4．反证法
先假设 不成立，即要证的不等式的反面成立．如要证不等式M＜N，先假设 ，由题设及其他性质，推出矛盾，从而否定假设，肯定M＜N是正确的．凡涉及到要证明的不等式为否定性命题、唯一命题或含“至多”、“至少”等字句时，可考虑用反证法．
所要证明的不等式
M≥N
5．换元法
换元法是对结构较为复杂、量与量之间的关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式．常见的换元法有 、 、 等换元方法，换元后要注意 变化．
三角换元
均值换元
设差换元
范围
6．放缩法
欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使用B≤B1，B1≤B2，…，Bi≤A或A≥A1，A1≥A2，…，Ai≥B，再利用传递性，以达到欲证的目的，这种方法叫放缩法．
具体放缩方法有公式放缩和利用某些函数的单调性放缩等．常用技巧有：舍去一些正项或负项；在和或积中换大(或换小)某些项；扩大(或缩小)分式的分子(或分母)等，放缩时要注意不等式的一致性．
7．判别式法
判别式法是根据已知或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法．
8．其他方法
最值法：x≥y恒成立⇔x≥ymax；x≤y恒成立⇔x≤ymin.
构造法：根据欲证不等式的具体结构特征，通过构造函数、数列、复数或图形等，达到促进转化、简化证明的目的，这种方法叫构造法，另外还有导数法，利用函数的单调性，数学归纳法等．
3．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单，条理清楚，所以实际证题时，可将分析法、综合法结合起来使用，即：用分析法分析，用综合法书写．
4．用反证法证明不等式要把握三点：
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设矛盾、有的与已知事实相违背等，推导出的矛盾必须是明显的．
5．换元法多用于条件不等式的证明，变量较多，一个变量难以用另一个变量来表示，这样换元后可以达到减元的目的，使问题化难为易，化繁为简，在换元时，必须遵守一个原则，就是必须确保原来变量的范围不发生变化．
6．用放缩法时，放缩要有目标，才能放缩适度，认真总结放缩技巧，充分利用不等式的性质及均值不等式，绝对值不等式和已知条件是进行放缩的关键．
7．在用判别式法时，若二次项系数含有字母，往往要按其为零和不为零两种情况分类讨论.
[分析]　观察可知，通过作差后，可以较快地因式分解，从而证明不等式；也可利用作商法证明．
[规律总结]　本题的两种证法就是比较法中的作差法和作商法．用比较法中的作差法证明不等式时，为了说明差式的符号，有下列三种常用的方法：①将差式因式分解，通过判断简单因式的符号来判断差式符号；②将差式通过配方写成一些正(负)数的和；③把差式中的某一字母视为自变量，构造函数，证明函数值恒正或恒负．用比较法中的作商法证明不等式时，关键是对商进行合理的变形，然后比较它与1的大小，需特别注意的是，用作商法证明不等式时，应要求不等式的两边同号.
备选例题 1　已知a＞0，b＞0，m＞0，n＞0.
求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.
证明：am＋n＋bm＋n－ambn－anbm
＝am(an－bn)＋bm(bn－an)＝(an－bn)(am－bm)．
∵a＞0，b＞0，m＞0，n＞0，
∴当a≥b时，(an－bn)(am－bm)≥0，
am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm；
当a≤b时，(an－bn)(am－bm)≥0，
am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.
综上可知：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm.
[分析]　可采用综合法或分析法证明，要注意应用已知条件a＋b＝1.
[规律总结]　本题用的两种证法分别是综合法与分析法，用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的已知不等式作为依据，其中基本不等式是最常用的．当要证明的不等式比较复杂时，两端差异难以消去或者已知条件信息太少，已知与待证之间的联系不明显时，一般可以采用分析法，分析法是步步寻找不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是从要证明的不等式出发，寻找使不等式成立的充分条件，直到找到一个已知的或非常明显成立的不等式．
[分析]　考虑不等式自身的特点，可用放缩法、构造函数法或数学归纳法．
[规律总结]　放缩法、构造法是证明不等式的常用方法，放缩法证明不等式时，放缩要适度，必须有目标，而且要恰到好处，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质，不等式的性质，函数的性质等，构造法证明不等式，往往利用构造函数的单调性，几何图形的性质等解决问题.
[分析]　本题为条件不等式的证明，观察条件可知，用三角换元法较合适．
[规律总结]　(1)换元时注意要等价，如本题中|r|≤1.(2)有些问题直接证明较困难，但若通过换元的思想去解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明，换元法中常见的是三角换元．当题目条件为：a2＋b2＝1，a＋b＝1，a2＋b2≤1等时常用三角换元法.
备选例题 4　在本例条件下，求证：|3x2－8xy－3y2|≤5.
证明：∵x2＋y2≤1，
∴可设x＝rcosθ，y＝rsinθ(|r|≤1,0≤θ≤2π)．
∴|3x2－8xy－3y2|＝|3r2cos2θ－8r2sinθcosθ－3r2sin2θ|
＝r2|3cos2θ－4sin2θ|＝5r2|cos(2θ＋ )|≤5r2≤5.
∴原不等式得证.
[错因分析]　能否分析已知与求证之间的差异和联系，能否合理应用已知条件进行有效的变换，是证不等式的关键.