1．方程f(x)＝0有实数根⇔____________________ _________⇔函数y＝f(x)有零点．
2．零点判断法：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么_______________ _________________，即存在c∈(a，b)，使得_______，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
3．对于在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间_________，使区间的两个端点逐步_________．这种得到零点近似值的方法叫做二分法．
函数y＝f(x)的图象与x
轴有交点
函数y＝f(x)在区
区间(a，b)内有零点
f(c)＝0
一分为二
逼近零点
4．用二分法求零点近似值的步骤：
第一步： _____________________________.

第二步： __________________________.
第三步：计算f(x1)．
(1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
(2)若f(x1)·f(a)<0，则令b＝x1，此时，零点x0∈(a，x1)；
(3)若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时，零点x0∈(x1，b)．
第四步：判断是否达到精确度ε，即若________，则得到零点近似值，否则重复第二～四步．
取一个区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0
|a－b|<ε
1．若f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数最少是 (　　)
A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2
解析：因为f(2)＝0，且f(x)是以3为周期的偶函数，
所以f(5)＝0，f(－1)＝0，所以f(1)＝0，f(4)＝0.故选B.
答案：B
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是 (　　)
解析：因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，
所以a＞0，c＜0，且f(1)＝0.故选D.
答案：D
3．已知函数f(x)＝x3－x－1仅有一个正零点，则此零点所在的区间是 (　　)
A．(3,4)　　　　　　　B．(2,3)
C．(1,2) D．(0,1)
解析：利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间．由于f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，f(4)＝59>0，根据选项，只有区间(1,2)满足．
答案：C
4．若函数f(x)＝ax＋b(a，b≠0)有一个零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
1．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式．
2．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．
3．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
考点一　方程的根与函数的零点
【案例1】　设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，且f(x)＝0的两实数根的平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
关键提示：根据条件可用一般式设出其解析式，再由已知条件确定字母a、b、c的值．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
因为f(x＋2)＝f(x－2)，
所以该函数的图象关于直线x＝2对称，
所以b2－2ac＝10a2. ③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.
故f(x)＝x2－4x＋3.
【即时巩固1】　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

所以f(x)＝－4x2＋4x＋7.
考点二　一元二次方程根的分布
【案例2】　已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围．
关键提示：本题中函数二次项系数为m，但不一定为二次函数，所以先讨论m＝0，再讨论m≠0.
解：若m＝0，则f(x)＝－3x＋1，显然满足要求．
若m≠0，交点有两种情况：
【即时巩固2】　集合A＝{(x，y)|y＝x2＋mx＋2}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0且0≤x≤2}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，则有f(0)＝1>0.
方法1：(直接法)(1)若f(x)＝0在[0,2]内有且只有一个根，则f(2)<0，即4＋2(m－1)＋1<0，
考点三　用二分法求函数零点的近似值
【案例3】　求方程x2＝2x＋1的一个近似解．(精确度0.1)
关键提示：依据二分法求函数的零点近似值．
解：设f(x)＝x2－2x－1，
因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
所以在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的中间数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，
所以2再取2与2.5的中间数2.25，
因为f(2.25)＝－0.437 5<0，
所以2.25同理可得：x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.437 5)，
|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1，
故方程x2＝2x＋1的一个近似解可取为2.437 5.
【即时巩固3】　求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度0.1)
解：因为f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，故取区间[－3，－2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：
因为区间[－2.25，－2.187 5]的长度是0.062 5 <0.1，
所以函数f(x)＝x2－5的负零点的一个近似值可取为－2.187 5.