第六节　不等式的综合应用
a＞0，b＞0
a＝b
a＞0，
b＞0
a＝b
2．不等式的应用
不等式的应用主要体现在如下几个方面：
(1)运用不等式研究函数问题(单调性、最值等)；
(2)运用不等式研究方程解的问题；
(3)利用函数性质及方程理论研究不等式问题．诸如方程的根的分布问题，解集之间的包含关系，函数的定义域及值域、最值问题，解析几何中有关范围问题等，都与解不等式的知识相关联．
(4)不等式在实际问题中的应用．在解有关不等式的实际应用题时要注意：首先要过“阅读”关，即读懂题目，能够概括出问题涉及到哪些内容；其次，过“理解”关，即准确理解和把握各个量之间的关系，然后建立数学模型，再讨论不等关系，最后得出问题结论．
1．不等式的应用过程中，要有数学思想的体
现，如化归转化思想、分类讨论等．
2．解应用题时应注意题意，抓住反映本质的 数学关系，从而构建数学模型．
3．用均值不等式求解某些函数最值时，一定注意使用条件．
4．注意不等式知识与其他知识的有机结合，特别是在灵活应用上下功夫，体会各种证明方法的优缺点及运用程序.
例1
[解]　(1)∵m·n＜0，m＋n≤0，∴m、n一正一负．
不妨设m＞0，n＜0，则n≤－m＜0.取n＝－m＜0，
∵函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，
则f(n)＝f(－m)；取n＜－m＜0，同理
f(n)＜f(－m)，∴f(n)≤f(－m)．
又函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，
∴f(－m)＝－f(m)．∴f(n)＋f(m)≤0.
[规律总结]　求解与抽象函数相关的不等式问题，必须要去掉抽象的函数符号f，其关键是要抓住以下两点：一是抽象函数的单调性，二是将不等式中的某些值化为函数在特殊点的函数值．在判断单调性时，一般是采用单调性的定义进行证明；在转化函数值时，一般采用特殊值法，并注意结合函数的奇偶性.
备选例题 1　若将本例题设中的“增”改为“减”，(1)的条件不变，请探究f(m)＋f(n)与0的关系．
解：∵m·n＜0，m＋n≤0，∴m、n一正一负，
不妨设m＞0，n＜0，则n≤－m＜0，
取n＝－m＜0，
∵函数f(x)在(－∞，0)上为减函数，
则f(n)＝f(－m)，取n＜－m＜0，
同理f(n)＞f(－m)，∴f(n)≥f(－m) ，
又函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为奇函数，
∴f(－m)＝－f(m)，∴f(n)＋f(m)≥0.
[解]　(1)由Sn＝2n－n2－1知：
a1＝S1＝0；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－n2－1－2n－1＋(n－1)2＋1＝2n－1－2n＋1.
综合得：an＝2n－1－2n＋1(n∈N*)．
设f(n)＝Sn－2an，
则f(n)＝－n2＋4n－3＝－(n－2)2＋1.
则f(n)的最大值为f(2)＝1，
即Sn－2an的最大值为1.
[分析]　由椭圆的对称性可知，点B、C到x轴的距离相等，即S△ABC＝2S△AOB，从而问题转化为求△AOB面积的最大值，亦即点B到x轴距离的最大值．
[规律总结]　解析几何中常会出现某个量的范围或最值的问题，这类问题的解法一般有两种：一是根据题目条件，把欲求范围或最值的量表示为另一变量的函数，通过求函数的值域或最值，从而得到这个量的范围或最值；二是设法建立包含这个量的不等式，通过解不等式，求出这个量的范围或最值．本例就是利用第一种方法求解的.
例4　某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W(吨)与时间t(小时，且规定早上6时t＝0)的函数关系为W＝100.水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管．
(1)若进水量选择2级，试问：水塔中的剩余量何时开始低于10吨？
(2)如何选择进水量，即能始终保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出？
[分析]　先由题意列出进水量选择x级时水塔中水的剩余量与时间t的函数关系，第(1)问将x＝2代入得出不等式，解出t的范围即可；第(2)问实质上是不等式恒成立问题，分离出参数，转化为求函数的最值问题．
[规律总结]　不等式在解决实际问题中有着广泛的应用，包括求损耗最小，材料最省，利润最大，面积最大(最小)，方案最合理等实际应用问题，解决此类问题的关键是根据题目建立等式、不等式、函数式等数学模型，然后利用不等式的基础知识、公式、思想方法等进行求解.
备选例题 4　某商场在促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案得到相应的奖券：