高中数学必修2原创《4.1.1圆的标准方程》课件ppt免费下载
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自 学 导 引
1.掌握圆的标准方程及其特点,会根据圆心的位置和半径写出圆的标准方程.
2.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程.
3.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题.
课 前 热 身
1.设圆的圆心是C(a,b),半径为r,则圆的标准方程是_________________.当圆的圆心在坐标原点时,圆的半径为r,则圆的标准方程是____________________.
2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,点P在圆外⇔________;点P在圆上⇔________;点P在圆内⇔________.
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2=r2
d>r
d=r
d名 师 讲 解
1.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有点在圆内､圆上､圆外.其判断方法是由两点间的距离公式,求出该点到圆心的距离,再与圆的半径比较大小即可.
设点P(x0,y0)到圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心C的距离为d,则
所以当d>r,即当(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点P在圆C的外部;当(x0-a)2+(y0-b)22.求圆的标准方程的常用方法
(1)几何法
利用圆的几何性质,直接求出圆心和半径,代入圆的标准方程得结果.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:先设方程,再列式,后求解.
典 例 剖 析
题型一 求圆的标准方程
例1:求满足下列条件的圆的标准方程
(1)圆心在原点,半径为3;
(2)圆心在点(-2,1),半径为
(3)经过点P(5,1),圆心在点(8,-3).
分析:(1)､(2)直接写圆的方程,(3)可根据两点间的距离公式求半径,再写出圆的标准方程.
解:(1)∵圆心(0,0),半径为3,
∴圆的方程为x2+y2=9.
(2)∵圆心(-2,1),半径
∴圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.
(3)方法1:∵圆的半径 又圆心为(8,-3),
∴圆的方程为(x-8)2+(y+3)2=25.
方法2:∵圆心为(8,-3),故可设圆的方程为
(x-8)2+(y+3)2=r2,
∵点P(5,1)在圆上,
∴(5-8) 2+(1+3) 2=r2,∴r2=25.
∴所求圆的方程为(x-8) 2+(y+3) 2=25.
规律技巧:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,
只要求出a､b､r,这时圆的方程被确定,因此,确定圆的方程,需
要三个独立条件,其中圆心(a,b)是定位条件,半径r是定形条件.
变式训练1:指出下列圆的圆心和半径
(1)x2+y2=3;
(2)(x-1) 2+y2=9;
(3)(x+1) 2+(y-2) 2=1.
答案:(1)圆心(0,0),
(2)圆心(1,0),r=3.
(3)圆心(-1,2),r=1.
题型二 用待定系数法求圆的方程
例2:求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的方程.
分析:因为条件与圆心有直接关系,因此设圆的标准方程即可解决问题.
∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
解法2:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点,
∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.
规律技巧:确定圆的方程需要三个独立条件,“选标准､定参数”是解题的基本方法.其中,选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式,进而确定其中三个参数.
变式训练2:求圆心在x轴上,半径为5,且过点A(2,-3)的圆的标准方程.
解:设圆心在x轴上,半径为5的圆的方程为
(x-a)2+y2=52.
∵点A在圆上,∴(2-a) 2+(-3) 2=25.
∴a=-2或a=6.
故所求圆的方程为
(x+2) 2+y2=25或(x-6) 2+y2=25.
题型三 点和圆的位置关系
例3:已知圆心C(3,4),半径r=5,求此圆的标准方程,并判断点A(0,0),B(1,3)在圆上､圆外还是圆内.
解法1:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4) 2=25.
∵点A(0,0)与圆心C(3,4)的距离d=5,
而r=5,d=r,∴点A在圆上.
点B(1,3)与圆心C(3,4)的距离
∴点B在圆内.
解法2:所求圆的方程为(x-3)2+(y-4) 2=25,
将点A(0,0),B(1,3)分别代入圆的方程,得
(0-3) 2+(0-4) 2=25,(1-3) 2+(3-4) 2=5<25,
∴点A在圆上,点B在圆内.
规律技巧:判断点与圆的位置关系,通常用两种方法,一种是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判定,当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当dr2,则点P在圆外,若(x-x0) 2+(y-y0) 2=r2,则点P在圆上;若(x-x0) 2+(y-y0) 2变式训练3:已知点A(1,2)在圆C:(x+a)2+(y-a)2=2a2的内部,求a的取值范围.
解:∵点A(1,2)在圆的内部,
∴(1+a)2+(2-a)2<2a2,即5-2a<0,
∴a> ∴a的取值范围是
易错探究
例4:已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.
错解:[TP俗67.tif,Y]如图,由题设知|AB|=8,|AC|=5.
在Rt△AOC中,
∴C点坐标(3,0),
∴所求圆的方程为(x-3)2+y2=25.
错因分析:借助图形解决数学问题,只能是定性地分析,而不能定量研究,要定量研究问题,就应考虑到几何图形的各种情况,本题出错就是由于考虑问题不全面所致,由于只画了圆心在x轴正半轴的图形,从而漏掉了圆心在x轴负半轴的情况.
正解:由题意知,所求圆的方程可设为(x-a)2+y2=25,
∵圆截y轴所得线段长为8,
∴圆过点A(0,4)代入圆的方程得a2+16=25,
∴a=±3,
故所求圆的方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
技 能 演 练
基础强化
1.点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
解析: 把P(m,5)代入x2+y2=24,得m2+25>24.∴点P在圆外.
答案:A
2.点 与圆x2+y2=1的位置关系是( )
A.在圆内 B.在圆外
C.在圆上 D.与t的值有关
∴|OP|=1,∴点P在圆上.
答案:C
3.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径分别是( )
A.(-1,5), B.(1,-5),
C.(-1,5),3 D.(1,-5),3
答案:B
4.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程为( )
A.x2+y2=2 B.x2+y2=
C.x2+y2=1 D.x2+y2=4
解析:AB的中点为圆心(0,0),
半径
∴圆的方程为x2+y2=2.
答案:A
5.方程 表示的曲线是( )
A.一条射线 B.一个圆
C.两条射线 D.半个圆
解析:由 得x2+y2=9(y≥0),
∴方程 表示半个圆.
答案:D
6.若P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )
A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0
解析:已知圆的圆心为C(1,0),易知PC⊥AB,kPC=
,∴kAB=1,
依点斜式知AB的方程为x-y-3=0.
答案:A
7.圆C:(x-2)2+(y+1)2=r2(r>0)的圆心C到直线
4x+3y-12=0的距离是________.
解析:圆心C(2,-1),代入点到直线的距离公式,得
8.求经过点A(-1,4),B(3,2),且圆心在y轴上的圆的方程.
解:∵圆心在y轴上,
∴可设圆心坐标为(0,b),则圆的方程为:
x2+(y-b)2=r2.
∵圆经过A､B两点,
∴圆的方程是x2+(y-1) 2=10.
能力提升
9.一圆在x,y轴上分别截得弦长为4和14,且圆心在直线2x+3y=0上,求此圆方程.
解:设圆的圆心为(a,b),圆的半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
∵圆在x轴,y轴上截得的弦长分别为4和14.则有
又∵圆心在直线2x+3y=0上,
∴2a+3b=0.③
∴适合题意的圆的方程为(x-9)2+(y+6) 2=85
或(x+9) 2+(y-6) 2=85.
10.若点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=3上.
(1)求 的最小值;
(2)求 的最大值.
解:(1)式子 的几何意义是圆上的点P(x,y)与定点(0,2)的距离.
因为圆心(2,0)到定点(0,2)的距离是
又圆半径为
所以 的最小值为
(2)利用 的几何意义.
因为 的几何意义是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,如右图所示,易求得 的最大值为
品 味 高 考
11. 圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )
A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1
解析:依题意知圆心(0,b),圆的方程为x2+(y-b)2=1,
把点(1,2)代入,得b=2,
∴x2+(y-2)2=1为所求.
答案:A
12. 点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )
A.(x-2) 2+(y+1) 2=1
B.(x-2) 2+(y+1) 2=4
C.(x+2) 2+(y-2) 2=4
D.(x+2) 2+(y-1) 2=1
解析:设圆上任一点的坐标为(x0,y0),
则有x02+y02=4.
设连线中点的坐标为(x,y),则
代入x02+y02=4,得(x-2)2+(y+1)2=1.
答案:A
