4.1.1 圆的标准方程
我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
复习引入
问题
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本要素是圆心和半径．
引入新课
问题：如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标 (a,b) 表示，圆上任意点M(x, y)具有什么特征？
——M点到圆心A的距离等于半径r
圆就是由具有上述特征的点构成的集合，你能用描述法来表示这个集合吗？
符合上述条件的圆的集合：
圆的方程
问题
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示？
圆的方程
即：
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？
圆的标准方程
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
问题
圆的标准方程
说明：
1.特点：明确给出了圆心和半径.
2.确定圆的方程必须具备三个独立的条件，即圆心的横坐标，圆心的纵坐标和半径。
特殊位置的圆方程
因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
问题
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
得：
整理得：
1.写出下列各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（2）圆心在点C(3,4)，半径是 ；
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
课堂练习
2.写出下列各圆的圆心坐标和半径
课堂练习
典型例题
点与圆的位置关系
探究
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
点与圆的位置关系
探究
可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ；
点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ．
归纳：
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是
典型例题
解得：
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线l: x－y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．
典型例题
A
B
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线l: x－y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．
典型例题
A
B
解：
圆心为C的圆的半径长
所以，圆心为C的圆的标准方程是
课堂练习
已知△AOB的顶点坐标分别是A（4,0），O（0,0），B（0,3），求△AOB外接圆的标准方程.
课本121页 练习 第4题
解：
则有：
解得：
知识小结
一.圆的标准方程的结构特点.
二.点与圆的位置关系的判定.
三.求圆的标准方程的方法：
（1）待定系数法；
（2）利用平面几何知识确定圆心和半径的方法.
作业
课本124页 习题4.1 A组 第2题、第3题
再见