4.1　圆的方程
4.1.1　圆的标准方程
圆与方程
1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程.
2.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，
3.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．
基础梳理
1．圆的标准方程：圆心为C(a，b)、半径为r的圆的标准方程为：____________________.
练习1.(1)圆心在原点，半径是3的圆的标准方程为：____________.
(2)已知圆的圆心为(－1,2)，半径为3，则圆的标准方程为：________________.
1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2
练习1. (1)x2＋y2＝9
(2)(x＋1)2＋(y－2)2＝32
2．点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置有如表所示的对应关系

练习2.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝32的圆心为：________，半径为________．
练习2. (1，－2)　3
思考应用
下列几种特殊位置的圆的方程是什么？
x2＋y2＝r2(r≠0)　(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)　(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)　x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)　(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)　x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)　(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)　(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)　(x－a)2＋(y－b)2＝a2(|a|＝|b|≠0)
自测自评
1．圆心是O(－3,4)，半径为5的圆的方程为(　　)
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5
B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
解析：直接代入圆的标准方程可得．
答案：D
2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
解析：m2＋52＝25＋m2≥25>24，点在圆外．
答案：A
3．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16
B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9
解析：因圆与x轴相切，故圆的半径r＝4.
答案：B
4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝ x的距离是(　　)
A. B. C．1 D.
解析：圆心C(1,0)，再利用点到直线的距离公式得d＝ .
答案：A
5．已知圆心在点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
圆的标准方程
求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心在y轴上，半径是1,且过点（1,2）；
(2)圆心在点C(3,4)，半径是 ；
(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)．
解析：根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．
(1)x2 +（y-2)2=1；
(2)(x－3)2＋(y－4)2＝5；
(3)解法一：∵圆的半径r＝|CP|＝ ＝5，圆心在点(8，－3)．
∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
解法二：∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2.
又∵点P(5,1)在圆上，
∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，
∴r2＝25，
∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
点评：确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径，因此圆心和半径被称为圆的两要素．
跟踪训练
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝2；
(2)(x－3)2＋y2＝a2(a≠0)；
(3)(x＋2)2＋(y＋1)2＝b2(b≠0)．
解析：搞清圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中，圆心为(a，b)，半径为r，本题易于解决．
(1)圆心(0,0)，半径为 .
(2)圆心(3,0)，半径为|a|.
(3)圆心(－2，－1)，半径为|b|.
点与圆的位置关系
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解析：由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，
∴圆心M的坐标为(0,1)，
点评：判定点与圆的位置关系，可以判定该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点坐标代入圆的方程判断，方法如下：
点A(x0，y0)到圆心C(a，b)的距离为
|AC|＝
①当点A(x0，y0)在圆上时，|AC|＝r，
即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
②当点A(x0，y0)在圆内时，|AC|即(x0－a)2＋(y0－b)2③当点A(x0，y0)在圆外时，|AC|>r，
即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
跟踪训练
2．判断点M(6,9)，N(3,3)，O(5,3)与圆(x－5)2＋(y－6)2＝10的位置关系．
解析：∵圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10，
分别将M(6,9)，N(3,3)，O(5,3)代入得
(6－5)2＋(9－6)2＝10，
∴M在圆上；
(3－5)2＋(3－6)2＝13>10，
∴N在圆外；
(5－5)2＋(3－6)2＝9<10，
∴O在圆内．
圆的标准方程的应用
如图所示，一座圆形拱桥，当水面在如图位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少m?
解析：以圆拱顶为坐标原点，以过拱顶点的垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，－2)．
设圆的半径为r，则C(0，－r)，
即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2①
将点A的坐标(6，－2)代入方程①，
解得r＝10
∴圆的方程x2＋(y＋10)2＝100②
当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为
(x0，－3)(x0>0)，
代入方程②，求得x0＝ .
即水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2 ≈14.28 m.
跟踪训练
3.求以点C（2，-1）为圆心，截直线x+y+1=0所得的弦长为 2 的圆的方程.
1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是(　　)
A．－4C．－5解析：由a2＋(a＋1)2<25可得2a2＋2a－24<0，
解得－4答案：A
2．方程y＝－ 表示的曲线是(　　)
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
解析：当y≤0时，平方得x2＋y2＝25，表示下半圆．
答案：D
1．利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径，比较点到圆心的距离与半径的大小能得出点与圆的位置关系，求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大简化计算的过程与难度．
2．点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径之间的关系．当dr时，点在圆外.
祝
您
学业有成