4．2.3 直线与圆的方程的应用
4．2.3 直线与圆的方程的应用


1．已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于直线 y＝－x 对称，则
圆 C 的方程为(
)
C
A．(x＋1)2＋y2＝1

B．x2＋y2＝1

C．x2＋(y＋1)2＝1

D．x2＋(y－1)2＝1
解析：半径相等，找圆心的对称点即可．
2．一个以原点为圆心的圆与圆 x2＋y2＋8x－4y＝0 关于直
线 l 对称，则直线 l 的方程为____________.
解析：直线 l 是原点和(－4,2)连线的垂直平分线．
3．已知 A 点是圆 x2＋y2－2ax＋4y－6＝0 上任一点，A 点

关于直线 x＋2y＋1＝0 的对称点也在圆上，那么实数 a 等于__.
解析：直线 x＋2y＋1＝0 过圆心．
4．若直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有

公共点，则实数 m 的取值范围是_____________________．
2x－y＋5＝0
3
(－∞，0)∪(10，＋∞)
重点
圆的切线与弦长
1．切线：

(1)过圆 x2＋y2＝R2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是：xx0＋ yy0

＝R2，过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是：

(x－a)(x0－a)＋(y－a)(y0－a)＝R2，一般地，求圆的切线方程应抓

住圆心到直线的距离等于半径；
(2)从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，

再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于

半径)来求；
(3)过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：当过两切点

的切线有交点时，先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的
圆，该圆与已知圆的公共弦所在直线方程就是过两切点的直线
方程．当过两切点的切线平行时，切点弦就是已知圆的直径．
2．弦长问题：
弦长问题
例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线

x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解
方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
长为 8, 求此弦所在直线方程．
切线问题
例 2：如图 1，自点 A(－3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x

轴反射，其反射光线 m 所在直线与圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0

相切，求光线 l 与 m 所在直线的方程．
图 1
16
3
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1
投射到 x 轴所得的影长为______.
最值问题
例 3：已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(2)y－x 的最小值；
(3)x2＋y2 的最大值和最小值．
涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性
质，利用数形结合求解，一般地：
最值问题．
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距

的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化圆心已定

的动圆半径的最值问题．
半圆有两个交点，b 为直线在 y 轴上的截距，
图 3
4－1.(2010 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2＋

y2＝4 上有且仅有四个点到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 1，则

实数 c 的取值范围是_________．
(－13,13)