必修2优质课《4.2.3直线与圆的方程的应用》ppt课件免费下载
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4.2.3 直线与圆的方程的应用
1.理解直线与圆的位置关系的几何性质；（重点）
2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；（难点）
3.会用“数形结合”的数学思想解决问题．
抗日战争时期，虎子担任我军的交通员，在一次送情报中，遇上一个鬼子兵的追捕．当虎子跑到一个大的圆形池塘边时，鬼子兵看着无路可走的虎子就猛扑上去．虎子急中生智，纵身跳到池塘里．鬼子兵不会游泳，只好盯住虎子沿塘边跟着虎子跑动，打算在虎子爬上岸时抓住他．如果鬼子兵跑动的速度是虎子游泳速度的2.5倍，问虎子用怎样的方法才能摆脱鬼子兵的追捕？
一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为
dd=r
d>r
d与r的大小关系
2个
1个
0个
交点个数
图形
相交
相切
相离
位置
r
d
r
d
r
d
则
求圆心坐标及半径r（配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
消去y（或x）
几何方法
代数方法
判断直线和圆的位置关系
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，（其中，取10 km为单位长度）这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0
问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点的问题。
例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m）.
分析：建立如图所示的直角坐标系，把实际问题转化为数学问题——求出圆拱桥所在的圆的方程；然后解决这个实际问题——利用圆的方程求点A2，P2的坐标，从而求线段A2P2的长，解释实际意义——圆拱形桥支柱的高A2P2.
解：建立如图所示的直角坐标系，使圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径为r，那么圆的方程为：
x2＋（y－b）2＝r2，
解得：
所以，圆的方程为：
点P（0,4），B（10,0）在圆上，所以，有
把 的横坐标 代入
圆的方程得：
由题可知y＞0，解得：y≈3.86(m)
答：支柱A2P2的高度约为3.86米。
思考：不建立坐标系,如何解决这个问题?
作
即
得
在
中，
得
又
在
中
所以支柱A2P2的高度约是3.86m.
解法如下
某次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图所示的一部分．现在陈师傅所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈师傅在零件上画了一条线段 AB，并作出了 AB 的垂直平分线 MN，而且测得 AB＝8 cm，MN＝2 cm．根据已有数据，试帮陈师傅求出这个零件的半径．
解：以 AB 中点 M 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知有 A(－4，0)，B(4，0)，N(0，2)．
设过 A，B，N 的圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
代入 A，B，N 的坐标，可得
解得
因此所求圆的方程为
x2＋y2＋6y－16＝0，
化为标准方程是
x2＋(y＋3)2＝52，
所以这个零件的半径为 5 cm．
例2．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，
求证 圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
探究:解决平面几何问题常利用“坐标法”，首先要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是如何选取坐标系？
如图所示
探究：如图所示，设四边形的四个顶点分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
y
探究：四边形ABCD的外接圆圆心O′的坐标如何表示？
过四边形外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，由中点坐标公式，有：
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直线分别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四边形外接圆的圆心 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，
由中点坐标公式，有：
第二步:进行有关代数运算.
第一步:建立坐标系，用坐标表示有关的量.
由两点间的距离公式，有：
所以
即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
第三步:把代数运算结果翻译成几何关系.
利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”：
第一步：
题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．
建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问
第二步：
通过代数运算，解决代数问题．
第三步：
把代数运算结果“翻译”成几何结论．
(2010·山东高考)已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴
的正半轴上，直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为
则过圆心且与直线l垂直的方程为_______.
分析：关键是设出圆心坐标(a,0)，并利用圆过点(1，0)将半径也用a表示，进而利用弦长，弦心距，半径三者的关系，构建方程求解.
解：设所求直线的方程为x+y+m=0,圆心(a,0)，由题意知： 解得a=3或a=-1,又因为圆心在x轴的正半轴上，∴a=3,故圆心坐标为(3，0)，而直线x+y+m=0过圆心(3，0)，∴3+0+m=0，即m=-3,故所求直线的方程为x+y-3=0.
答案：x+y-3=0
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有
AD,BE相交于点P．
求证：
解：以B为原点，BC边所在直线为x轴，线段 为单位长，建立如图所示的坐标系，则
直线AD的方程为
解以上两方程联立的方程组，得
所以点P的坐标是
直线PC的斜率
因为
所以
1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.
不要垂头丧气，即使失去一切，明天仍在你的手里。
