圆的方程
第四章
4.2　直线、圆的位置关系
第四章
4.2.3　直线与圆的方程的应用
解决实际问题的基本步骤如下：
(1)阅读理解，认真审题．
做题时，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握新信息．在此基础上，分析出已知什么，求什么，都涉及哪些知识，确定变量之间的关系．审题时要抓住题目中关键的量，实现应用问题向数学问题的转化．
●知识衔接
(2)引进数学符号，建立数学模型．
根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即建立数学模型．如果题目已经告知曲线是圆，则需要建立适当的直角坐标系，设出圆的方程，为求解方程或计算作准备．
(3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果．
(4)翻译成具体问题．
直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的步骤：
第一步：建立适当的________________，用__________和__________表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为__________问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“_________”成几何结论．
这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简称为“一建二算三译”．
平面直角坐标系
坐标
方程
代数
翻译
●自主预习
1．某洞口的横截面是半径为5 cm的半圆，则该半圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随着建立的直角坐标系的变化而变化
[答案]　D
●预习自测
2．证明在圆中直径所对的圆周角为直角．
如图所示，有一块五边形的铁皮ABCDE，|CD|＝100 cm，|BC|＝80 cm，|AB|＝70 cm，|DE|＝60 cm.现要将这块铁皮截成一个矩形，使矩形的两边分别落在BC和CD上．问怎样截才能使矩形的面积最大？
直线方程的应用
●互动探究
规律总结：(1)借助坐标系、点的坐标、直线的方程等解析工具解决实际问题．
某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面(不必变方位)进行开发．问如何设计才能使开发面积最大？并求出最大面积．
[分析]　建立坐标系求解．
[点评]　这是一道用地规划问题，具有很强的应用价值与现实意义，将问题化归为在线段AB上找一点，使长方形面积最大的数学问题，这里求线段AB所在直线方程、设点P坐标是解题的切入点．
如图所示，一座拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
圆的方程的应用
[解析]　以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，
则由已知得A(6，－2)．
设圆的半径为r，
规律总结：(1)应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，可取得简便、精确的效果，因此，解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．
(2)解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助，“适当”要结合具体问题来体味．
如图所示是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱，求支柱CD的长度．(精确到0.01 m)

[分析]　先求出圆的标准方程，再求C点的纵坐标即可．
如下图所示，在半径为1的圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F.求证：EF平分CD．

[探究]　建立平面直角坐标系，由圆O和圆C的方程得公共弦EF的方程，转化为证明CD的中点在直线EF上即可．
用坐标法证明几何问题
规律总结：坐标法解决几何问题，要先建立适当的坐标系，用坐标、方程表示出相应的几何元素，如点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题来解决，通过代数的运算得到结果，分析结果的几何意义，得到几何结论．其中建立适当的坐标系是解题的关键，一般建系时要坚持如下原则：
①若有两条互相垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；
②充分利用图形的对称性；
③让尽可能多的点落到坐标轴上，或关于坐标轴对称；
④关键点的坐标易于求得．
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于该边所对边长的一半．
[分析]　如图所示，选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，本题关键是求出圆心O′的坐标，过O′作AC的垂线，垂足为M，M是AC的中点，垂足M的横坐标与O′的横坐标一致，同理可求O′的纵坐标．
代数式的几何意义与数形结合法
●探索延拓
若x、y满足(x－2)2＋y2＝3，那么①x＋y的取值范围是__________；②(x＋2)2＋(y＋2)2的取值范围是________.
[错解]　选A或选C
易错点　利用数形结合的解题误区
●误区警示
[答案]　A
[解析]　两边平方整理得：(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，由|x|－1≥0得x≥1或x≤－1，所以(x－1)2＋(y－1)2＝1(x≥1)或(x＋1)2＋(y－1)2＝1(x≤－1)，所以为两个半圆，故选A．
1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝25(y≥0)
C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D．随建立直角坐标系的变化而变化
[答案]　D
[解析]　在不同坐标系下，方程也不同．
[答案]　D
3．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案]　C
[分析]　由于隧道的截面是半圆，故可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标法解决．
[归纳总结]　这是一个实际问题，解决这一问题的关键是把它转化为数学问题，通过建立平面直角坐标系求半圆方程，进而使问题得以解决．
5．如图，直角△ABC的斜边长为定值4，以斜边的中点O为圆心作半径为3的圆，直线BC交圆于P、Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．