4.2.3直线与圆的方程的应用(第一课时)
l
d
d
d
C
C
C
E
F
r
r
r
(1)直线l与⊙A相交
d ＜r
(2)直线l与⊙A相切
d ＝r
(3)直线l与⊙A相离
d ＞r
直线l是⊙A的割线
直线l是⊙A的切线,
两个公共点
唯一公共点
点C是切点
没有公共点
一、复习：1.直线和圆有几种位置关系?如何判定?
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
2.直线与圆的位置关系的判定方法：
直线l：Ax+By+C=0
圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
(2)代数法:利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
(1)外离
3.圆和圆的位置关系有哪几种? 如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系?
|O1O2|>|R+r|
|O1O2|=|R+r|
|R-r|<|O1O2|<|R+r|
|O1O2|=|R-r|
0≤|O1O2|<|R-r|
|O1O2|=0
(2)外切
(3)相交
(4)内切
(5)内含
同心圆
(一种特殊的内含)
(1)几何法:利用连心线长与|r1+r2|和| r1-r2 |的大小关系判断：
圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r12 (r1>0)
圆C2：(x-c)2+(y-d)2=r22 (r2>0)
圆与圆的位置关系有五种,有两种判定方法:
(2)代数法:利用两个圆的方程组成方程组的实数解的个数：
外离
内切
外切
内含
相交
2
4
3
0
1
d>R+r
d=R+r
R-rd=R-r
0≤d公切线长
4.圆与圆的公切线与公切线的长:
若P(x0,y0)为圆x2+y2=r2外一点，PM1、PM2分别切圆于M1、M2，则直线M1M2的方程为 .
x0x+y0y=r2
5.圆的切点弦方程：
x
y
o
P
M1
M2
6.直线与圆相交的弦长计算：
r
(1)几何法：
解由弦心距、半弦及半径构成的直角三角形；
(2)代数法：
例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）
思考:(用坐标法)
1.圆心和半径能直接求出吗？
2.怎样求出圆的方程？
3.怎样求出支柱A2P2的长度？
二、新课:
参见书：P130-131 例4 (略)
例1、
解:
代入圆的方程得
E
例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
(a,0)
(0,b)
(c,0)
(0,d)
参见书：P131-132 例5 (略)
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
归纳:用坐标法解决平面几何问题的步骤(三步曲)：
补充: 1.圆的切线方程:
（1）若圆的方程为x2+y2=r2，点P(x0,y0)在圆上，则过P点且与圆x2+y2=r2相切的切线方程为
x0x+y0y=r2
（2）若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，点P(x0,y0)在圆上，则过P点且与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切的切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0–b)(y-b)=r2
（3）若圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点P(x0,y0)在圆上，则过P点且与该圆相切的切线方程为
2.直线与圆相离：
圆与直线相离，常利用圆心到直线的距离d去确定圆上的点到直线距离的最大值(d+r)、最小值(d-r)
l
o
3.特殊圆的方程：
圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2
(1)圆过原点：
(2)圆与x轴相切：
(3)圆与y轴相切：
x2+y2+Dx+Ey=0
(x-a)2+(y-b)2=|b|2
(x-a)2+(y-b)2=|a|2
a2+b2=r2
, r=|b|
, r=|a|
课堂练习：P132练习1,2,3,4
练习2:赵州桥的跨度为37.4米，拱高7.2米，求这座圆拱桥的拱圆的方程。
解法一:
代入圆的方程得
练习2:赵州桥的跨度为37.4米，拱高7.2米，求这座圆拱桥的拱圆的方程。
解法二:
代入圆的方程得
练习1.求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=9所截得的弦长.
练习3.某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过?
练习2.赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程.
答:能通过
练习4.
(6,0)
(2,0)
(0,0)
l
d
d
d
C
C
C
E
F
r
r
r
(1)直线l与⊙A相交
d ＜r
(2)直线l与⊙A相切
d ＝r
(3)直线l与⊙A相离
d ＞r
直线l是⊙A的割线
直线l是⊙A的切线,
两个公共点
唯一公共点
点C是切点
没有公共点
小结：1、直线和圆有三种位置关系:
2、圆与圆的三种位置关系：
圆与圆的位置关系可分为五种：
相离，外切，相交，内切，内含
(两圆的公切线条数也可分为五种)
3、判断圆与圆的位置关系的方法
（常用几何法）
设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2(r1≠r2)
则
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
直线与圆的位置关系的判定方法：
直线l：Ax+By+C=0
圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
(2)代数法:利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
作业:
必做作业:试卷:
(选择题和填空题也要有说明理由或主要的步骤)