4.2.3 直线与圆的方程的应用
例1、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度
AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支
柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）
思考:(用坐标法)
1.圆心和半径能直接求出吗？
2.怎样求出圆的方程？
3.怎样求出支柱A2P2的长度？
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
答：支柱A2P2的长度约为3.86m.
练习
1、某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过?
E
例2、已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
(a,0)
(0,b)
(c,0)
(0,d)
分析：将自然语言转化为图形语言，建立适当的直角坐标系证明问题。由已知，可选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴，关键在求圆心坐标。
过四边形ABCD外接圆圆心Q分别作AC，BD，AD的垂线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，AD的中点，由线段的中点坐标公式得：
即：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半
反思：
用坐标法解决问题的步骤——“三步曲”
1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题
2、通过代数运算，解决代数问题（有目的地）
3、把代数运算结果“翻译”成几何结论
几何
代数
几何
例3、在气象台A正西方向300千米处有一台风中心，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，气象台A所在地将遭受台风影响？持续多长时间？
例4：圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O为原点),求m的值
分析：OP⊥OQ x1x2+y1y2=0;
联立方程用韦达定理得m=3
P
y
Q
O
x
x+2y-3=0
解：联立得5y2-20y+12+m=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得：
y1+y2=4,y1y2=(m+12)/5
而x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=(4m-27)/5
由OP⊥OQ x1x2+y1y2=0 m=3
小结：
用坐标法解决问题的步骤——“三步曲”
1、建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题
2、通过代数运算，解决代数问题（有目的地）
3、把代数运算结果“翻译”成几何结论
几何
代数
几何
2.过原点O作圆 的弦OA.(1)求弦OA中点M的轨迹方程； (2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹方程.
练习
1.求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所截得的弦长.
3、点M在圆心为C1的方程：x2+y2+6x-2y+1=0，
点N在圆心为C2的方程：x2+y2+2x+4y+1=0，
求|MN|的最大值.
4.等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且
AD,BE相交于点P.求证:AP⊥CP
(6,0)
(2,0)
(0,0)
5.自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反
射，其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0
相切，求反射光线所在直线的方程
l : 4x+3y+25=0或3x+4y+21=0
解二:利用|O’P|2=|O’M|2+|MP|2
=|O’M|2+|OM|2
得:
m=3
已知圆M的方程是x2+(y-2)2=1，点Q是x轴上的动点，
QA，QB分别切圆M于A、B，求弦AB中点P的轨迹方程
3.有一台风中心位于城市O的东偏南θ( )的方向
300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45。方向
移动。台风袭击的范围为圆形区域，当前半径为60km，
并以10km/h的速度不断增大。问几小时后该城市开始受到
台风的侵袭
2.自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线，交圆得弦BC，求弦BC的
中点P的轨迹方程。
4. 已知实数x,y满足x2+y2=3(y≥0)， ,求证：
(1) (2)
5.已知圆C1:x2+y2=2x+2y-8=0与C2:x2+y2-2x+10y-24=0
相交于A、B两点，(1)求圆心在直线y=-x上，且经过A，B
两点的圆的方程；(2)求经过A，B两点且面积最小的圆
的方程
6.如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作以圆与圆O
的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，求证：EF
平分CD
7.过两圆x2+y2-1=0和x2-4x+y2=0的交点且与直线x- y-6=0
相切的直线方程
8.已知RtΔABC中，∠C=90。，AC＝8，BC＝6，P是ΔABC
内切圆上的动点，试求点P到ΔABC三个定点距离的平方
和的最大值和最小值