必修2公开课《4.2.2圆与圆的位置关系》ppt课件免费下载
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自 学 导 引
1.知道两圆间的位置关系有:外离､外切､相交､内切､内含5种.
2.会根据两圆的圆心距与半径之间的关系迅速判断出两圆的位置关系.
3.初步体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
课 前 热 身
一般地,设圆C1和C2的方程分别为
(x-x1)2+(y-y1)2=r21,
(x-x2)2+(y-y2)2=r22.
圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距d=|C1C2|=
那么,当d>r1+r2时,两圆________.
当d=r1+r2时,两圆________.
当|r1-r2|当d=|r1-r2|时,两圆________.
当0≤d<|r1-r2|时,两圆________.
外离
外切
相交
内切
内含
名 师 讲 解
1.判断圆与圆的位置关系的方法与步骤
(1)判断两圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=r ,C2:(x-a2)2+(y-b2)2=r
位置关系的常用方法:
两圆C1､C2外离⇔|C1C2|>r1+r2;
两圆C1、C2外切⇔|C1C2|=r1+r2;
两圆C1､C2相交⇔|r1-r2|<|C1C2|两圆C1、C2内切⇔|C1C2|=|r1-r2|;
圆C1内含于圆C2⇔0≤|C1C2|<|r2-r1|,其中|C1C2|=0时,两圆同心.
(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤:
第一步:将两圆的方程化为标准方程;
第二步:依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1、r2及圆心距d(即|C1C2|);
第三步:根据d与r1、r2之间的关系,判断两圆的位置关系.
2.判断两圆的位置关系为什么不用代数法
跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大,较为麻烦,而且当无解或是一解时往往还得重新用几何法来讨论,不如直接运用几何法简便.
典 例 剖 析
题型一 圆与圆的位置关系
例1:a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.
(1)外切;(2)内切.
分析:把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距,再作比较.
解:将两圆方程写成标准方程
(x-a)2+(y+2) 2=9,(x+1) 2+(y-a) 2=4.
设两圆的圆心距为d,则d2=(a+1) 2+(-2-a) 2=2a2+6a+5.
(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或2.
(2)当d=1即2a2+6a+5=1时,两圆内切,解得a=-1或a=-2.
规律技巧:解决两圆的位置关系,运用几何方法(圆心距与半径的关系)比代数方法(方程组解的情况)简单.
变式训练1:⊙A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,⊙B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0,判断⊙A和⊙B是否相交,若相交,求过两交点的直线的方程;若不相交,说明理由.
分析:判定两圆是否相交,只需判定两圆的半径和､差与圆心距间关系即可.
解:⊙A的方程可写为(x-1)2+(y-1) 2=9,
⊙B的方程可写为(x+1) 2+(y+1) 2=4,
∴两圆心之间的距离满足3-2<|AB|=
即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差.
∴两圆相交.
⊙A的方程与⊙B的方程左､右两边分别相减得-4x-4y-5=0.即4x+4y+5=0为过两圆交点的直线的方程.
题型二 与两圆相切有关的问题
例2:求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线 相切于点 的圆的方程.
分析:先设出圆的方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2 (r>0),利用题设条件,得到关于a、b、r的三个方程,解方程组求得a,b,r即可.
解:设所求圆的方程为
(x-a)2+(y-b) 2=r2 (r>0),
将x2+y2-2x=0化为标准形式(x-1) 2+y2=1,由题意可得
规律技巧:本题利用了待定系数法,设出所求圆的方程,根据圆与圆相切,圆与直线相切的条件列出关于a,b,r的方程组求解.
变式训练2:以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程.
解:设所求圆的半径为r,
则
∴r=3或r=13,
故所求圆的方程为
(x-3) 2+(y+4) 2=9或(x-3) 2+(y+4) 2=169.
题型三 与两圆公共弦有关的问题
例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项､y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.
解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A､B两点坐标是方程组
①-②得3x-4y+6=0.
∵A､B两点坐标都满足此方程,
∴3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.
规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将表示圆的两个方程相减即可得到.求圆的弦长用几何法简单.
变式训练3:判断圆C1:x2+y2-2x-6y-6=0,与圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0的公切线的条数.
分析:先判断两圆位置关系.
解:由题意得:将圆C1化为标准方程:
(x-1) 2+(y-3) 2=16.
将圆C2化为标准方程:(x-2) 2+(y+1) 2=1.
得圆C1的圆心坐标C1 (1,3),半径r1=4.
圆C2的圆心坐标C2 (2,-1),半径r2=1,
又r1+r2>|C1C2|>r1-r2,
即两圆相交.
∴圆C1与圆C2有两条公切线.
易错探究
例4:求与圆(x-2)2+(y+1) 2=4相切于点A(4,-1)且半径长为1的圆的方程.
错解:设所求圆的圆心C(a,b),则
由①②解得a=5,b=-1.
∴所求圆的方程为(x-5) 2+(y+1) 2=1.
错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况,造成错解.
正解:设所求圆的圆心C(a,b),则
①
(1)当两圆外切时,有 ②
由①②解得a=5,b=-1.
∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1) 2=1.
(2)若两圆内切,则有 ③
由①③解得a=3,b=-1.
∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1) 2=1.
综上所述,所求圆的方程为
(x-5) 2+(y+1) 2=1或(x-3) 2+(y+1) 2=1.
技 能 演 练
基础强化
1.圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是( )
A.相离 B.外切
C.相交 D.内切
解析:圆:x2+y2-2x=0,配方(x-1)2+y2=1,圆心C1(1,0),半径r1=1.
圆:x2+y2+4y=0,配方x2+(y+2)2=4,圆心C2(0,-2),半径r2=2.
圆心距|C1C2|= 答案:C
2.两圆x2+y2=r2与(x-3) 2+(y+1) 2=r2 (r>0)外切,则r的值是( )
答案:D
3.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+4x-4y-1=0的公切线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析:圆x2+y2-4x+2y+1=0(x-2) 2+(y+1) 2=4,圆心C1(2,-1),半径r1=2.圆x2+y2+4x-4y-1=0(x+2) 2+(y-2) 2=9,圆心C2(-2,2),半径r2=3.
∵|C1C2|= =5=r1+r2.
∴两圆相外切,∴公切线有3条.
答案:C
4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 的点共有( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个
解析:圆x2+2x+y2+4y-3=0(x+1) 2+(y+2) 2=8.
∴圆心(-1,-2),半径为 而圆心(-1,-2)到直线x+y+1=0的距离
∴圆上点到直线的距离为 的点有3个.
答案:B
5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7) 2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.(x-5) 2+(y+7) 2=25
B.(x-5) 2+(y+7) 2=17或(x-5) 2+(y+7)2=15
C.(x-5) 2+(y+7) 2=9
D.(x-5) 2+(y+7) 2=25或(x-5) 2+(y+7) 2=9
解析:设动圆圆心G(x,y).当两圆内切时,
有(x-5) 2+(y+7) 2=9.
当两圆外切时,有(x-5) 2+(y+7) 2=25.应选D.
答案:D
6.已知两圆x2+y2=10和(x-1) 2+(y-3) 2=20相交于A､B两点,则直线AB的方程是________.
解析:二圆相减可得x+3y=0.
x+3y=0
7.以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_________________________.
解析:半径
又圆心(1,2).
∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.
(x-1)2+(y-2)2=25
8.两圆x2+y2=1和(x+4) 2+(y-a) 2=25相切,则实数a的值为__________.
解析:当两圆内切时,有(0+4) 2+(0-a) 2=(5-1) 2.∴a=0;当两圆外切时,有(0+4) 2+(0-a) 2=(5+1) 2,∴a=±
∴a=0或a=±
能力提升
9.已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A(12,0)是x轴上的一定点,当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?并分析此轨迹与圆x2+y2=16的位置关系.
解:设线段PA的中点M(x,y),P(x0,y0),则由中点坐标公式得:
P(x0,y0)在圆x2+y2=16上,
∴(2x-12) 2+(2y) 2=16,
即(x-6) 2+y2=4.
这就是点M的轨迹方程.
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆.
两圆的圆心距 而两半径之和为6.
∴两圆相外切.
10.求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0也相切的圆的方程.
解:由题意,设所求圆的方程为圆C:(x-a) 2+(y-b) 2=r2.圆C与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4).
又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.
若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.
(1)当C1(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2) 2+(4-1) 2=12(无解),故可得a=2±
∴所求圆的方程为 +(y-4) 2=42,
或 +(y-4) 2=42.
(2)当C2(a,-4)时,(a-2) 2+(-4-1) 2=72,
或(a-2) 2+(-4-1) 2=12(无解),故a=2±
∴所求圆的方程为 +(y+4) 2=42,
或 +(y+4) 2=42.
11.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.外切 D.内切
解析:圆O1:x2+y2-2x=0,配方得(x-1) 2+y2=1,∴圆心O1,(1,0),半径r1=1.
圆O2:x2+y2-4y=0,配方得x2+(y-2) 2=4,
∴圆心O2 (0,2),半径r2=2.
|O1O2|= =r1+r2.
∴圆O1与圆O2相交.
答案:B
12. 若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 则a=________.
解析:两圆作差得弦所在直线方程为
弦心距 由弦心距､半弦及半径的关系得
,∴a=1.
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