已知点A（1，a），圆x2+y2=4.
（1）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及
切线方程；
（2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线
被圆截得的弦长为2 ，求a的值.
解（1）由于过点A的圆的切线只有一条，则点
A在圆上，故12+a2=4，∴a=± .
当a= 时,A（1， ）,切线方程为x+ y-4=0；
当a=- 时,A（1,- ）,切线方程为x- y-4=0，
∴a= 时，切线方程为x+ y-4=0,
a=- 时，切线方程为x- y-4=0.
(2)设直线方程为x+y=b,
由于过点A，∴1+a=b，a=b-1.
又圆心到直线的距离d=
∴ +3=4，∴b=± ,∴a=± -1.
题型四 直线与圆的综合应用
【例4】（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k
的直线l与圆C：（x-2）2+(y-3)2=1相交于M、N
两点.
（1）求实数k的取值范围；
（2）求证： · 为定值；
（3）若O为坐标原点，且 · =12,求k的值.
（1）解 方法一 ∵直线l过点A（0，1）且斜率
为k，
∴直线l的方程为y=kx+1. 2分
将其代入圆C：（x-2）2+(y-3)2=1,
得（1+k2）x2-4(1+k)x+7=0. ①
由题意：Δ=［-4（1+k）］2-4×（1+k2）×7＞0，
得 4分
方法二 同方法一得直线方程为y=kx+1,
即kx-y+1=0. 2分
又圆心到直线距离d=

4分
（2）证明 设过A点的圆的切线为AT，T为切点，
则|AT|2=|AM|·|AN|，
|AT|2=（0-2）2+（1-3）2-1=7，
∴| |·| |=7. 6分
根据向量的运算：
· =| |·| |·cos 0°=7为定值. 8分
（3）解 设M（x1，y1），N（x2，y2），则由①得


∴ · =x1x2+y1y2
=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1
=
∴k=1（代入①检验符合题意）. 12分
10分
圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系
认真观察
观察结果
两个圆的交点个数？
圆与圆的 位置关系
外离
O1O2>R+r
O1O2=R+r
R-rO1O2=R-r
0≤O1O2O1O2=0
外切
相交
内切
内含
同心圆
(一种特殊的内含)
五 种
２、⊙O1和⊙O2 的半径分别为3cm 和 5 cm ,
　　当0102= 8cm时，两圆的位置关是 .
　　当0102= 2cm时，两圆的位置关是 .
　　当O1O2= 10cm时，两圆的位置关是 .
1、 两圆有两个交点，则两圆的位置关系是 .
　　两圆没有交点，则两圆的位置关系是 .
　　两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是 .
学以致用
限时训练
判断C1和C2的位置关系
反思
解法一：
把圆C1和圆C2的方程化为标准方程：
例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点A，B.
例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
解法二：圆C1与圆C2的方程联立，得
(1)-(2)，得
所以，方程(4)有两个不相等的实数根x1,x2
因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点
所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点A，B.
课堂小结
1、圆和圆的位置关系及其对应的数量关系
（1）两圆外离
d>R+r
（2）两圆外切
d=R+r
（3）两圆相交
R-r（4）两圆内切
d=R-r (r（5）两圆内含
0≤d2、两圆相切,相交时的对称性
如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.如果两圆相交时，连心线垂直平分公共弦
两圆的位置关系
相切
相交
相离
外离
内含
外切
内切
相交
归 纳
问题探究
2.求经过点M(3,-1) ,且与圆
切于点N(1,2)的圆的方程。
y
O
C
M
N
G
x
求圆G的圆心和半径r=|GM|
圆心是CN与MN中垂线的交点
两点式求CN方程
点(D)斜(kDG) 式求中垂线DG方程
D
8.（2009·四川理，14）若⊙O：x2+y2=5与⊙O1:
(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆
在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 .
解析 如图所示，在Rt△OO1A中，
OA= ，O1A=2 ，∴OO1=5，
∴AC=
∴AB=4.
4
12.如右图所示，已知圆
C1:x2+y2-2mx-2ny+m2-1
=0和圆C2：x2+y2+2x+2y
-2=0交于A、B两点且这
两点平分圆C2的圆周.
求圆C1的圆心C1的轨迹方程，并求出当圆C1的
半径最小时圆C1的方程.
解 圆C1：（x-m）2+（y-n）2=n2+1，
圆C2：（x+1）2+（y+1）2=4，
而C1C2⊥AB且AB为圆C2直径.
∴|AC2|= =2，又|AC1|2= =1+n2，
|AC2|2=4，|C1C2|2=（m+1）2+（n+1）2.
∴（m+1）2=-2（n+2）即为点C1的轨迹方程.
又-2（n+2）≥0，n≤-2，
当n=-2时，m=-1， = ，
此时圆C1的方程为（x+1）2+(y+2)2=5.
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