第二节 直线与圆的位置关系
一、圆周角
其所对弧的度
数的一半
∠AOB
相 等
相等
∠AOB
90°
直径
90°
直径
二、圆的切线
垂直
垂直
垂直于
垂直于
相等
CA＝CB
三、弦切角定理及其推论
一半
相等
相等
∠ADC
四、圆中的比例线段
相等
相等
等比中项
五、圆内接四边形的性质定理和判定定理
互补
互补
1．如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切
点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝
120°，则∠APB＝________.
解析：过C作⊙O的一直径CD，连结AD，BD，AO，BO，
∴∠CAD=∠CBD=90°.
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD，∠BDC=180°-∠BCD-∠CBD，
∴∠ADC+∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠AOB=120°.
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°.
∴∠APB+∠AOB=180°.
∴∠APB=60°.
答案：60°
2．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且
与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝
________.
解析：由AD·BD＝CD·TD，得TD＝9，又由

得PB(PB＋9)＝(PB＋6)2－92，则PB＝15.
答案：15
3.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC
切半圆O于点D，BC⊥AC于点C，DF⊥EB于点F，若BC=6，
AC=8，则DF=　　　　.
解析：设圆的半径为r，AD＝x，连经OD，得OD⊥AC.故
即 故x＝ r.
又由切割线定理AD2=AE·AB，
即
由三角形相似，知 则DF=3.
答案：3
4.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于D，
且AD＝4DB，设∠COD＝θ，则cos2θ＝________.
解析：∵AD＝4DB，
∴OC＋OD＝4(OC－OD)，
即3OC＝5OD，cos2θ＝2cos2θ－1＝2
答案：
5．如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的
垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，
且AE＝2，则AB＝________，AC＝________，
BC＝________.
解析：∵∠CAE＝∠EAB，∠EAB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB.
又∵CB⊥AD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB＝30°.
又∵AE＝2，∴AB＝ BC＝3.
答案：
6．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D
是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A
的度数是________．
解析：连结OB、OC、AC，根据弦切角定理，可得∠BAD＝∠BAC＋∠CAD
＝ (180°－∠E)＋∠DCF＝67°＋32°＝99°.
答案：99°
1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出
角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角
的大小．
2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上
的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦
切角．
如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点．BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E，则∠DAC＝________；线段AE的长为________．
(1)∠BCF＝∠BAC＝30°，∠ACD＋∠BCF＝∠ACD＋∠DAC＝90°；
(2)可证明Rt△ABE≌Rt△BAC.
解：由已知△ABC是直角三角形，易知∠CAB=30°，
由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF=30°，
由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180°，知∠DCA=60°，
故在Rt△ADC中，∠DAC=30°.
法一：连结BE，如图(1)所示，
∠EAB=60°=∠CBA，
则Rt△ABE≌Rt△BAC，
所以AE=BC=3.
法二：连结EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE=∠CAE=30°，
又∠DCA=60°，故∠ECA=30°，
又因为∠CAB=30°，故∠ECA=∠CAB，
从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，
可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA=OC，故四边形AOCE是菱形，故AE=AO=3.
答案：30°3
1.已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC
是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于点D，则∠ADF的
度数为
证明四点共圆的方法：
利用定理：若一个四边形的对角互补，则四点共圆．
如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
(1)证明A，P，O，M四点共圆；
(2)求∠OAM+∠APM的大小．
(1)可利用圆内接四边形对角互补来证明A，P，O，M四点共圆；
(2)利用(1)所得结论即可求得∠OAM＋∠APM的大小．
证明：连结OP，OM，如图(1)所示．因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA+∠OMA=180°.由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．
(2)连结OA，如图(2)所示．
由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM.
由(1)得OP⊥AP.又圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°.
所以∠OAM+∠APM=90°.
2.如图，AB、CD是两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，过
A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2，则
AB＝________，AC＝________.
解析：连结AD，由切割线定理得：PA2＝PC·PD.
∴PD=4.
又PC=DE=1，
∴CE=2.
∴AB=2.
分别作AH⊥PD于H，BM⊥DE于M，连结BD，
则∠ACD=∠BDC=∠BED.

在Rt△APH中，
AH=
在Rt△ACH中，
AC=
答案：2
1．相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线
段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及
圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．
2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如
线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有
关的相似三角形等．
已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连接EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.
(1)如图所示，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立？证明你的结论；
(2)当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．
可作出两圆的公共弦，然后利用弦切角定理、切割线定理解决.
解：(1)EA=ED成立．
连结AB，在EA的延长线上取点F，如图(1)所示．∵AE是⊙O1的切线，切点为A，
∴∠FAC=∠ABC.
∵∠FAC=∠DAE，∴∠ABC=∠DAE.
∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，∴∠ABC=∠D，∴∠DAE=∠D，
∴EA=ED.
(2)当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切．
如图(2)所示，由弦切角定理知：
∠1=∠3，∠2=∠4，
又∠1=∠2，∴∠3＝∠4＝ ×180°＝90°，
∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径，
∴由切割线定理知：
AC2＝CB·CE，而CB＝2，CE＝8，
∴AC2＝2×8＝16，AC＝4，
故⊙O1的直径为4.
3.如图所示，割线PAB与圆O相交于A，B两点，PC为圆O的
切线，圆O的半径为10，D为弧AB的中点，OD交AB于点
E，如果PA=4，PC=8，则OE的长度为　　　　.
解析：由切割线定理可得PC2＝PA×PB，即64＝4PB，解得PB＝16，所以AB＝16－4＝12，因为D为弧AB的中点，所以OE⊥AB，且点E平分线段AB，所以EB＝6，圆O的半径为10，所以OE＝
答案：8
通过近两年高考题的统计分析，可以看出本节主要考查圆周角定理、圆的切线的判定定理与性质定理及圆内接四边形的性质，题型为填空题，难度不大，如2009年广东卷15题就考查了该内容，注意“执果索因”这一分析问题的方法在解题中的应用.
(2009·广东高考)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB=4，∠ACB=45°，则圆O的面积等于　　　　.
[解析]　∵点A，B，C是圆O上的点，∴圆O是△ABC的外接圆，设圆O的半径为R，则由正弦定理得：2R=
解得R=2 ∴圆O的面积为πR2=8π.
[答案]　8π
本题考查的是直接应用正弦定理求三角形外接圆的半径，
较为直接，若将条件作稍微改动，同学们看如何求解．
如图，点A，B，C是圆O上的点，且AC=4，∠ACB=45°，
则圆O的面积等于 .