直线与圆
的位置关系
直线与圆的位置关系:
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点；
复习
3
相交
相切
相离
能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？
2016-3-31
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直线和圆相交
d< r
直线和圆相切
d= r
直线和圆相离
d> r
数形结合：
位置关系
数量关系
直线与圆的位置关系的判定方法：
直线l：Ax+By+C=0 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
(2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
直线与圆相离
直线与圆相切
直线与圆相交
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判断直线与圆位置关系的方法
几何方法
计算圆心到直线的距离d
比较d与半径r的大小
代数方法
消去y（或x）
例1. 如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标.
举例
参考答案
1. 求以C(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程.
2. 判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系.
练习
3.以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离,
则圆C的半径r的取值范围是____________.
解析:圆心C(-4,3)到直线2x+y-5=0的距离
举例
参考答案
G
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弦长公式：
即由直线方程，圆的方程,消去一个变量y(或x),用韦达定理,代入两点间距离公式求解
即半弦长､弦心距､半径组成直角三角形
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例3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
消去y得x2-3x+2=0,
弦长公式
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题型三 弦长问题
例3:直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长为 求l的方程.
分析:若直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长
得方程求k.
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解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于
A(x1,y1),B(x2,y2),
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两边平方,整理得2k2-5k+2=0.
解得 或k=2.
代入(1)知,Δ>0.
故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.
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解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径,AH是弦长AB的一半,
在Rt△AHO中,OA=5,
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规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法,
即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达
定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长､
弦心距､半径组成直角三角形,利用直角三角形求解.本例说明
几何法比代数法简便.
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直线与圆
的位置关系(2)
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回顾:判断直线和圆的位置关系
几何方法
求圆心坐标及半径r（配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
代数方法
消去y（或x）
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弦长公式：
即由直线方程，圆的方程,消去一个变量y(或x),用韦达定理,代入两点间距离公式求解
即半弦长､弦心距､半径组成直角三角形
1:对任意实数k,圆C: x2+y2-6x-8y+12=0与直线l:kx-y-4k+3=0的位置关系是( )
A 相交 B相切 C相离 D与k值有关
A
练习
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2:已知直线l:kx-y+6=0被圆x2+y2=25截得的弦长为8,求k值
练习
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题型二 切线问题
例3:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
分析:只要求出切线的斜率即可.
解:如右图所示,设切线的斜率为
k,半径OM的斜率为k1.
因为圆的切线垂直于过
切点的半径,于是
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当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.
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2.求圆的切线方程的常用方法
(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的性质,求出切线的斜率.k切= 代入点斜式方程可得.
结论:①若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则过该点的切线方程是x0x+y0y=r2.②若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则过该点的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
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变式训练3:求由下列条件所决定圆x2+y2=4的切线方程.
(1)经过点
(2)经过点Q(3,0);
(3)斜率为-1.
解:(1)∵
∴点 在圆上,故所求切线方程为
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(2)∵32+02>4,∴点Q在圆外.
设切线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.
∵直线与圆相切,
∴圆心到直线的距离等于半径.
∴ ∴k=±
∴所求切线方程为y=±
即
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(3)设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程,
整理得2x2-2bx+b2-4=0.
∵直线与圆相切,
∴Δ=(-2b)2-4×2(b2-4)=0.
解得b=±
所求切线方程为x+y±
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规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方
程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
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4:已知圆x2+y2=8，定点P(4,0)，问过P点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，这条直线与圆(1)相切，(2)相交，(3)相离
练习