4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？
下面我们以太阳的起落为例.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!
注意观察!!
1.理解直线与圆的位置的种类.（重点）
2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心
到直线的距离.（重点）
3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
（难点）
4.会用代数的方法来判断直线与圆的位置关系．
（难点）
1.直线和圆只有一个公共点,叫做直线和圆相切.
2.直线和圆有两个公共点,叫做
直线和圆相交.
3.直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
一、直线与圆的位置关系
o
圆心O到直线l的距离d
l
半径r
1.直线l和⊙O相离,此时d与r大小关系为_________
d>r
o
半径r
2.直线l和⊙O相切,此时d与r大小关系为_________
d=r
o
半径r
3.直线l和⊙O相交,此时d与r大小关系为_________
d1.利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
二、直线与圆的位置关系的判定方法：
2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
例1.如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.
分析：
方法二:
可以依据圆心到直线
的距离与半径长的关系，
判断直线与圆的位置关系．
方法一:
判断直线l与圆的位置关系，
就是看由它们的方程组成的
方程组有无实数解、有几组实数解；
解法一：
由直线l与圆的方程，得
消去　，得
因为
所以,直线l与圆相交，有两个公共点．
解法二：
其圆心C的坐标为（0,1），半径长为
点C（0,1）到直线l的距离
所以，直线l与圆相交，有两个公共点．
由
解得
把x1=2代入方程①，得y1=0；把x2=1代入方程①,
得y2=3.
所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是
A（2,0）,B（1,3）.
1.设直线过点(0，a)，其斜率为1,且与圆x2+y2=2
相切，则a的值为( )
A.± B.±2 C.±2 D.±4
【解析】选B.由已知可知直线方程为y=x+a,
即x-y+a=0，所以有 得a=±2.
【变式练习】
例2 已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x2+y2+4y-21=0
所截得的弦长为 ，求直线l的方程.
因为直线l过点M（-3，-3），所以可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离
因此，
即
两边平方，并整理得到 2k2-3k-2=0,
解得k= ，或k=2.
所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为
y+3= (x+3),或 y+3=2(x+3).
即x+2y+9=0,或2x-y+3=0.
判断直线与圆的位置关系
判断直线与圆的方程组成的方程组是否有解
a、有解,直线与圆有公共点.
有一组,则相切;
有两组,则相交.
b、无解,则直线与圆相离.
【提升总结】
直线x+ y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆x2+y2-4x+1=0的位置关系是( )
A.直线与圆相切
B.直线与圆相交但不过圆心
C.直线与圆相离
D.直线过圆心
【变式练习】
A
解：选A.因为直线x+ y=0的倾斜角为150°,
所以顺时针方向旋转30°后的倾斜角为120°,
所以旋转后的直线方程为 x+y=0.
将圆的方程化为(x-2)2+y2=3,
所以圆心的坐标为(2，0)，半径为 ,圆心到直线
x+y=0的距离为 =圆的半径，
所以直线和圆相切.
1.判断直线与圆的位置关系常用几何法，其一般步骤分别为：
①把圆的方程化为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径r.
②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.
③判断：当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交.
【提升总结】
2.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围.
1.⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l
与⊙O没有公共点，则d为（　 ）
A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3
2.圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O
的位置关系是（　　）
A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
A
C
A
5.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置关系是
______.
相交
4.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________.
相离
6.圆心为M(3,-5)，且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程为 .
(x-3)2+(y+5)2=32
解：方程 经过配方，得
因为d=r，所以直线3x＋4y＋2＝０与圆相切．
圆心坐标是（１，０），半径r=1．
圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离
直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为
dd=r
d>r
d与r
2个
1个
0个
交点个数
图形
相交
相切
相离
位置
r
d
r
d
r
d
则有以下关系：
求圆心坐标及半径r（配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
消去y
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
不要被不重要的人或事过多打扰，因为“成功的秘诀就是抓住目标不放”。