4.2　直线、圆的位置关系
4.2.1　直线与圆的位置关系
圆与方程
1.理解和掌握直线与圆的位置关系，
2.会用代数和几何方法判断直线和圆的位置关系.
3.利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
基础梳理
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断如下表所示：
>　 ＝　 <
2　 1 0
<　 ＝　 >
练习1.直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是：______.
练习2.(1)直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为：________，故直线与圆的位置关系为：________.
(2)直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为：________.故直线与圆的位置关系为：________.
练习1.相交
练习2. (1)(1，－1)或(－1,1)　相交
(2)(1,1)　相切
思考应用
如何求直线被圆所截得的弦长？
解析：①应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有关系r2＝d2＋( )2；
②利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b，与圆两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝
自测自评
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
解析：圆心(0,0)到直线的距离为 ＝<1
且(0,0)不在直线y＝x＋1上，故选B.
答案：B
2．下列说法中正确的是(　　)
A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切
B．与半径垂直的直线与圆相切
C．过半径外端的直线与圆相切
D．过圆心且与切线垂直的直线过切点
解析：A为相交，B、C中的直线有无数条．
答案：D
3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)
A．2 B. C．1 D.
4．已知直线x＝a(a>0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：∵|a－1|＝2，又a>0，∴a＝3.
答案：C
5．点A(3,5)是圆x2＋y2－4x－8y－80＝0的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为__________________．
解析：圆为(x－2)2＋(y－4)2＝102，圆心为B(2,4)，r＝10.
弦所在直线为l，则AB⊥l，
∴kAB＝＝1，k＝－1.
∴所求直线为y－5＝－(x－3)，即x＋y－8＝0.
答案：x＋y－8＝0
直线与圆的位置关系
已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，
(1)圆与直线有两个公共点．
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解析：本题可用代数法和几何法两种方法解决，我们选用几何法．
圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝ ，圆的半径r＝ .
(1)当d(2)当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，有一个公共点．
(3)当d>r，即b>2或b<－2时，直线与圆相离，无公共点．
点评：几何法判定直线与圆的位置关系的主要步骤是：
①把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r.
②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.
③判断：当d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切；当d跟踪训练
1．(1)直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
(2)若直线y＝kx－2k与圆(x－3)2＋y2＝1恒有两个交点，则实数k的取值范围为(　　)
A．R B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C. D.
(3)直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦AB长等于(　　)
A．4　　　B．2 C．2　　　 D.
解析：(1)圆心(2,3)在直线3x－4y＋6＝0上，即直线与圆相交且过圆心，故选C.
(2)由题意可知 ＜1，即此不等式恒成立，故选A.
或直线y＝k(x－2)过定点(2,0)，定点(2,0)在圆
(x－3)2＋y2＝1上．由于斜率k存在，故总有两个交点．
(3)直线y＝kx过圆心，被圆x2＋y2＝2所截得的弦长恰为圆的直径2 ，故选C.
答案：(1)C　(2)A　(3)C
圆的切线方程
求过点P(3,2)的圆x2＋y2＝9的切线方程．
分析：法一，利用点到切线的距离等于圆的半径求直线的斜率，由点斜式求切线方程；法二，求切点坐标，利用过圆上点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝9求解．
解析：解法一：设所求切线的方程为y－2＝k(x－3)或x＝3，即kx－y＋2－3k＝0或x＝3.
即5x＋12y－39＝0.
可验证：x＝3为圆的切线．
故所求切线方程为x＝3或5x＋12y－39＝0.
解法二：设切点为M(x0，y0)，则有切线方程为
x0x＋y0y＝9.
又切线过点P(3,2)，所以3x0＋2y0＝9.①
而M(x0，y0)在圆上，所以x20＋y20＝9.②
点评：(1)求过一点的圆的切线方程时，要先检验一下此点在圆上还是圆外，防止漏解，若此点在圆上，切线只有一条；若此点在圆外，则切线一定有两条，特别是斜率不存在的情况易忽视．
(2)过圆x2＋y2＝r2上的点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.必须注意圆的特征是圆心在原点，对其他圆不成立．
跟踪训练
2．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的切线方程中有一个是(　　)
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x＝0 D．y＝0
解析：画出图形易看出y轴是一条切线．
答案：C
直线与圆相交的问题
已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求k的值．
分析：可以利用圆的几何性质，构造直角三角形，结合勾股定理解之，也可以利用代数方法构造方程组结合弦长公式求解．不管是用哪种方法，只需求出直线的斜率即可．
解析：解法一：设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为AB，其中点为C，则△OCB为直角三角形．因为圆的半径为|OB|＝5，半弦长为 ＝|BC|＝4，所以圆心到直线kx－y＋6＝0的距离为3，由点到直线的距离公式得 ＝3，解之得k＝± .
点评：在解决有关圆的问题时，要充分利用圆的几何性质，比较两种解法，解法一比解法二简单得多．在处理直线与圆相交时的弦长问题时常用的方法有两种，一是几何法，即利用弦心距、半径及半弦构成的直角三角形结合勾股定理来计算；二是代数法，即利用根与系数关系和弦长公式来计算．第二种方法是处理直线与二次曲线相交问题的通法，特别是处理直线与非圆二次曲线相交问题时，基本是用这种方法．此外设点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)是解解析几何问题常用的方法，一般点的坐标只需设出而不求，须认真体会．
跟踪训练
3．求直线x－ y＋2 ＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．
解析：解法一：直线x－ y＋2 ＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组
所以公共点的坐标为(－ ，1)，(0,2)，直线x－ y＋2 ＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为 ＝2.
解法二：如图，设直线x－ y＋2 ＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，所以
直线与圆有关最值问题
(巧解题)已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1) 的最大值；(2)y－x的最小值．
解析：(1)设 ＝k，得y＝kx，所以k为过原点的直线的斜率．方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以C(2,0)为圆心，半径为 的圆，如图所示．当直线y＝kx与已知圆相切且切点P在第一象限时，k最大，此时|CP|＝ ，|OC|＝2，所以在Rt△POC中，∠POC＝60°，k＝tan 60°＝ ，
所以 的最大值为 .
(2)设y－x＝b，即为直线y＝x＋b，b为该直线在y轴上的截距，如图所示．当直线y＝x＋b与圆有公共点时，当且仅当直线与圆相切，且切点在第四象限时b最小，此时圆心(2,0)到直线的距离为 ，即 ，得b＝－ －2或b＝ －2(舍去)，所以y－x的最小值为－ －2.
点评：求与圆上的点的坐标有关的最值问题时，常常根据式子的结构特征，寻找它的几何意义，进而转化成与圆的性质有关的问题解决，其中构造斜率、截距、距离是常用的方法．
跟踪训练
4.圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+14=0的距离的最大值为 .

答案：7
1．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是(　　)
A．x＋2y－3＝0　　　　　B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0
解析：结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－ (x－1)，整理得x＋2y－5＝0.
答案：B
2．过点(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2 B．2
C．3 D．2
解析：当圆心到直线距离最大时，弦长最短，易知当圆心与定点G(0,1)的连线与直线AB垂直时，圆心到直线AB的距离取得最大值，即d＝|OG|＝1，此时弦长最短，即 故选B.
答案：B
1．判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法：
(1)判断直线l与圆C的方程组成的方程组的解．有两解时，相交；有一解时，相切；无解时，相离．
(2)判断圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：当dr时，相离．
2．设切线方程时，若设点斜式一定要注意斜率不存在的情况．
3．直线与特殊圆相切，切线的求法
(1)当点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，切线方程为x0x＋y0y＝r2；
(2)若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(3)斜率为k且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为：y＝kx±r ；斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的求法，可以设切线为y＝kx＋m，然后变成一般式kx－y＋m＝0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m.
(4)解析几何中一题多解的情形经常出现，要注意根据题目条件选择恰当的解法，使计算更加简便．
(5)要注意数形结合思想的应用.
祝
您
学业有成