4.2.1 直线与圆的位置关系(1)
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
为解决这个问题，我们以台风中心为原点 O，东西方向为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中取 10km 为单位长度．
一.实例引入
问题
一.实例引入
问题
轮船航线所在直线 l 的方程为：
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点．
二.直线与圆的位置关系
问题
在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？现在，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
二.直线与圆的位置关系
问题
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
方法一：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离．
方法二：判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系．如果d< r ，直线l与圆C相交；如果d= r ，直线l与圆C相切；如果d> r ，直线l与圆C相离．
二.直线与圆的位置关系
那么，如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
问题
小 结：
说明：
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判
断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标及
弦长。
方法一：直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0


消元
一元二次方程


方法二：直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2

d=
小节：1.判断直线与圆位置关系的方法
圆的弦长的求法
1．几何法：用弦心距，半径及半弦构成直角三角形的三边
设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则 2＝r2－d2.
▲2．代数法（也叫公式法）：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
解方程组 消y后得关于x的一元二次方程，从而求
得x1＋x2，x1x2，则弦长为|AB|＝
（此公式也叫做设而不求利用韦达定理求弦长公式 ）
(其中x1，x2为两交点的横坐标．k为直线斜率)．
2.若直线与圆相交，求弦长问题：
解法一：（求出交点利用两点间距离公式）
2．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
2．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法二：（弦长公式）
2．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
2．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
练习：求直线3x+4y+2=0被圆
截得的弦长。
方法一：解方程组求交点，然后利用距离公式求斜率；
方法二：利用几何性质，求弦心距,然后用点到直线的距离求斜率。
X+2y+9=0,或2x-y+3=0
例3：求过一点P(-3,-2)的圆x2 + y2 +2x－４ｙ＋１＝０
的切线方程。
解：设所求直线为ｙ＋２＝ｋ（ｘ＋３）
代入圆方程使Δ＝０；Ｋ＝
即所求直线为３ｘ－４ｙ＋１＝０
提问：上述解题过程是否存在问题？
X=-3是圆的另一条切线
注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，
若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；
若点在圆外，切线应有两条；
若点在圆内，无切线．
2.设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。
若存在，则经常设直线的方程为斜截式；若不存在，则特殊情况特殊对待。
3.若直线与圆相切，求切线方程问题：
3.若直线与圆相切，求切线方程问题：
求圆的切线方程一般有两种方法：
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)与圆的方程组成
方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式
Δ＝0进而求得k.
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)利用点到直线的
距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而
求出k.
以上两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选．
练习1.求过M（4，2）且与圆
相切的直线方程.
常用结论:
1:过圆x2＋y2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为xox+yoy=r2

2:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为
(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2

3:过圆x2＋y2＝r2外一点(xo,yo)的作圆的切线，两切点的连线的直线方程为xox+yoy=r2

4:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2外一点(xo,yo)的作圆的切线，
两切点的连线的直线方程为 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2
四.知识小结
定义法：有无交点，有几个．
代数法：直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解，有几个解．
几何法：判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系（大于、小于、等于）．
判断直线与圆的位置关系
1、几何方法解题步骤：
利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；
当d=r时，直线与圆相切;
当d把直线方程化为一般式, 圆的方程化为标准式，求出圆心和半径
直线与圆的位置关系
把直线方程与圆的方程联立成方程组
求出其Δ的值
比较Δ与0的大小:
当Δ<0时,直线与圆相离；
当Δ=0时, 直线与圆相切 ;
当Δ>0时,直线与圆相交。
2、代数方法主要步骤：
利用带入消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
知识点拨
再 见
4.2.1 直线与圆的位置关系(2)
一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环行，它走到哪个位置时与直线l ：3x+4y-2=0的距离最短，请你帮小老鼠找到这个点并计算这个点到直线l的距离。
趣味题
p
最短距离为2
小结
1、 本节课我们主要探讨了直线与圆的位置关系及其判定，以及直线与圆的位置关系的一些简单应用
2、对于直线与圆的位置关系利用圆心到直线的距离与半径的大小来判断比较简单，主要是由于圆具有特殊的几何性质。
3、判断直线与圆的位置关系要充分利用圆的几何性质。