免费下载必修2教研课《4.2.1直线与圆的位置关系》ppt课件
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直线与圆的位置关系
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知识回顾
直线方程的一般式为:____________________________
2.圆的标准方程为：______________
3.圆的一般方程：__________________________________
圆心为________
半径为______
Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0)
圆心为 半径为
（a，b)
r
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圆和圆的位置关系
外离
内切
外切
内含
相交
2
4
3
0
1
d>R+r
d=R+r
R-rd=R-r
0≤d公切线长
知识点拨
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问题1：你知道直线和圆的位置关系有几种？
知识点拨
直线与圆的位置关系
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知识点拨
直线与圆的位置关系的判断方法:
一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线
的距离为
则
例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
，判断直线L与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判断直线L与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系。
0
x
y
A
B
●
C
L
图4.2-2
解法一：由直线L与圆的方程，得
①
②
消去y ，得
因为
⊿=
所以，直线L与圆相交，有两个公共点。
解法二：圆 可化为 ，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 ，点C（0，1）到直线L的距离
d＝ ＝ = =
所以，直线L与圆相交，有两个公共点．
由 ，解得
=2 ， ＝１．
把 =2代入方程①，得 ＝０；
把 ＝１代入方程①，得 ＝３．
所以，直线L圆相交，它们的坐标分别是Ａ（２，０），Ｂ（１，３）．
＜
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 的位置关系．如果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
的距离d= = 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。
圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组 ， 得
切点坐标是（８，－６）
②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆 的位置关系．
解：方程 经过配方，得
圆心坐标是（１，０），半径长r=`1．
圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是
因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切．
③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ: 试判断直线L与圆Ｃ有无公共点，有几个公共点．
解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r= ，圆心到直线y＝x+6的距离
所以直线L与圆Ｃ无公共点．
④试解本节引言中的问题．
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取１０km为单位长度，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0
问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。
点Ｏ到直线L的距离
圆Ｏ的半径长r=3
因为３.５＞３，所以，这艘轮船不必改变航线，不会受到台风的影响．
x
y
0
A
B
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即⊿＜０，则相离．
②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离．
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将直线方程与圆的方程联立成方程组,利用消元法消去一个元后,得到关于另一个元的一元二次方程,求出其Δ的值，然后比较判别式Δ与0的大小关系,
判断直线与圆的位置关系的方法2 (代数法):
若Δ>0 则直线与圆相交
若Δ=0 则直线与圆相切
若Δ<0 则直线与圆相离
反之成立
知识点拨
直线与圆的位置关系
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直线与圆的位置关系判断方法：
一、几何方法。主要步骤：
利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切;当d把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆心和半径
知识点拨
直线与圆的位置关系
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把直线方程与圆的方程联立成方程组
求出其Δ的值
比较Δ与0的大小:
当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相
切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
二、代数方法。主要步骤：
利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
知识点拨
直线与圆的位置关系
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典型例题
已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与圆C相交？
脑筋转一转
问题：你还能用什么方法求解呢?
直线与圆的位置关系
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一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环
行，它走到哪个位置时与直线l ：
3x+4y-2=0的距离最短，请你帮小老鼠找
到这个点并计算这个点到直线l的距离。
请你来帮忙
知识反馈
直线与圆的位置关系
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典型例题
例1：直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0
相切,求直线l的方程.
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典型例题
例2:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x上截得弦长为 ，求此圆的方程。
解：设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2，
圆心(3b,b)到直线x-y=0的距离是
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9
或(x+3)2+(y+1)2=9。
r=|3b|
比较：几何法比代数法运算量少，简便。
例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M:
(x-3)2+(y-4)2=4
（1）当直线和圆相切时，求切线方程和切线长;
（2）若直线的斜率为2，求直线被圆截得的弦AB的长;
（3）若圆的方程加上条件x≥3，直线与圆有且只有一个交点，求直线的斜率的取值范围.
演示
培养学生用数形结合的思想
优化解题程序，用运动变化的观
点分析解决问题的能力。
例2: 在圆（x+1）2+(y+2)2＝8上到直线ｘ+ｙ+１=０的距离为 的点有_____个.
运用点到直线的距离解决直
线与圆的关系问题，将学生
思维引向更高层次。
在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圆上是否存在四个点到直线AB：3x-4y-3=0的距离等于１。
开放性问题:
演示
给出这个问题的用意是开拓学
生的思维，让学生从多角度思
考问题，培养学生的创新能力。
直线与圆部分练习题
1、从点P(x.3)向圆（x+2)2+(y+2)2=1作切线，则切线长度的最小值是（ ）
A. 4 B.
C.5 D. 5.5
2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是( )
A.x+y-3=0 B. 2x-y-6=0 C.x-y-3=0 D.2x+y-6=0
3、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是（ ）
A.相交 B.相切 C. 相离 D.不能确定
4、设点P(3,2)是圆(x-2)2+(y-1)2=4内部一点，则以P为中点的弦所在的直线方程是________________________
B
C
B
x+y-5=0
5、直线 x+y+a=0与 y= 有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A. [1, ) B.[1, ] C.[ , -1] D ( , -1]
D
6、一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，且在直线y=x上截得的弦长为 ，求此圆方程。
答： (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9
高考荟萃
①（2000年全国理）过原点的直线与圆 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）
Ａ. Ｂ． Ｃ． Ｄ．
C
④（2002 年全国文）若直线（１+a）x+y+1=0与圆
相切，则a的值为（ ）
Ａ．１，－１ Ｂ．２，－２ Ｃ．１ Ｄ．－１
D
所求的切线方程是
因为点M在圆上,所以
经过点M 的切线方程是
解:当M不在坐标轴上时，设切线的斜率为k,则k =
当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.
整理得
解法二：①当点 M 不在坐标轴上时，
②当点 M 在坐标轴上时，同解法一一样可以验证.
设切线方程为
y-y0=k(x-x0)
整理成一般式，利用点到直线的距离公式求k,代入所设方程即可.
例2 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点 的切线的方程。
P(x,y)
由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2
解法三：利用平面几何知识，按求曲线方程的一般 步骤求解.
如图，在Rt△OMP中
x0x +y0 y = r2
小结:
1:过圆x2＋y2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为xox+yoy=r2
2:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2上一点(xo,yo)的切线方程为
(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2
3:过圆x2＋y2＝r2外一点(xo,yo)的作圆的切线，两切点的连线的直线方程为xox+yoy=r2
4:过圆(x-a)2＋(y-b)2＝r2外一点(xo,yo)的作圆的切线，
两切点的连线的直线方程为 (x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r2
1.已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上任意一点，求(1)2x+3
(2)(x-2)2+(y-3)2 (3)y/(x+4)的取值范围
2.已知一个圆C与y轴相切，圆心C在直线l1:x-3=0上，且
在直线l2:x-y=0上截得的弦长为 ,求圆C的方程
3.已知圆C: x2+(y+4)2=4，求在两坐标轴上截距相等的圆
的切线方程
4.已知点P是圆x2+y2=4上一动点，点Q(4,0),求线段PQ中点
的轨迹
5.直线l过点P(0,2)且被圆x2+y2=4截得弦长为2，求l的斜率
与y轴交于A，B两点，与x轴
的一个交点为P，求∠APB的大小
2.已知圆(x-3)2+(y+4)2=4与直线y=kx相交于P,Q两点，则
|OP|·|OQ|= .
3.已知A(1,2)是圆(x-2)2+(y-4)2=10内的一个点，求过点A
且被A平分的圆的弦所在直线l的方程
4. 已知圆C满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段
圆弧，其弧长之比为3:1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离
为 ，求这个圆的方程
1.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么 的最大值
2.已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q的距离
的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0
的最小距离
3.已知P(x,y)为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点
(1)求 的最小值
(2)求x2+y2的最大值与最小值
4.已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为1的直线
使l被圆C截得得弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出
直线方程
二.例题讲解
例1．过点P(-2，-3)作圆C：(x-4)2+(y-2)2=9的两条
切线，切点分别为A、B.求：
(1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程；
(2)直线AB的方程；
(3)线段AB的长.
3. 过两圆x2 + y2 + 6x –4 = 0 和 x2 + y2 + 6y –28 = 0
的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程是( )
(A) x2+y2+x-5y+2=0 (B) x2+y2-x-5y-2=0
(C) x2+y2-x+7y-32=0 (D) x2+y2+x+7y+32=0
C
C
例2.己知圆C: x2+y2－2x－4y－20=0,
直线l: (2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R)
(1)证明: 无论m取何值 直线l与圆C恒相交.
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长,及此时
直线l的方程.
分析: 若直线经过圆内
的一定点，那么该直线
必与圆交于两点，因此
可以从直线过定点的角
度去考虑问题.
解 (1)将直线l的方程变形，得
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0．
∵对于任意的实数m, 方程都成立，
此时l方程 y -1 = 2 (x - 3)，即 2x－y－5=0
2
