3.3.3~3.3.4 点到直线的距离和平行直线间的距离
交 点
设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0，
l2: A2x+B2 y +C2=0.
说明：
若方程组有唯一解，则直线l1 与 l2 相交 ；
若方程组有无数解，则直线l1 与 l2 重合 ；
若方程组无解，则直线l1 与 l2 平行 。
这两条直线是否有交点
A1x+B1 y +C1=0，
A2x+B2 y +C2=0.
方程组：
方程组唯一解
方程组无穷多解
方程组无解
点到直线的距离
过该点(如图所示点P)作直线(图中L)的垂线，
点P与垂足Q之间的线段│PQ│长度.
点到直线的距离是指:
L
P
Q
什么是点到直线的距离？
二、知识新授:
问题：
Q
解：
设过点P和直线 l 垂直的直线PQ方程为
∵ 它过点 P(-1，2)
解方程组
∴ Q(3，4)
∴点P到直线 l 的距离为
如果把问题一般化就有如下问题：
问题
这种解法好不好，为什么?
问题
已知点P的坐标为（x0， y0），直线l 的方程
是 Ax+B y +C=0，怎样求点P到直线l 的距离？
设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交。过P 作x轴的平行线，交l于点 R(x1, y0) ；作y轴的平行线，交l于点 S(x0, y2).
由 A x1+B y0 +C=0
A x0+B y2 +C=0
点到直线的距离
得
由三角形面积公式可知：d·∣RS∣=∣PR∣•∣PS∣
所以，
1.此公式的作用是求点到直线的距离；
2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的；
3.如果A=0或B=0，此公式也成立；
4.如果A=0或B=0，一般不用此公式；
5.用此公式时直线要先化成一般式。
d
点到直线的距离公式：
例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2; ③2y+3=0的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
②如图，直线3x=2平行于y 轴，
用公式验证，结果怎样？
三、例题讲解:
例1 求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2; ③2y+3=0的距离。
解：③如图，直线2y+3=0平行于x轴，
用公式验证，结果怎样？
三、例题讲解:
例2 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。
两平行线间的距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
想一想：
再想一想：
注意：两直线的一次项系数完全相同，若不同，需变成系数完全相同时再用.
(教材59页15题)
已知点P的坐标为（x0, y0），直线l 的方程
是Ax+B y +C=0，则点P到直线l 的距离为：
点到直线的距离公式:
平行线间的距离公式：
则
教材58练习：
1. 求原点到下列直线的距离:
2. 求下列点到直线的距离:
3. 求下列两条平行线的距离:
.
.
.
①当直线 l // 直线AB 时，
②当直线 l 过线段AB的中点M(-1 ,4)时，
综上所述：
设直线 l 的方程为：
即
由已知得
即
解得