直线的倾斜角与斜率
我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点P，直线 l 的位置能够确定吗？
问题
X
.
p
Y
O
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？
问题引入
问题
l’
l’’
可以用直线与X轴的夹用描述它们的倾斜程度
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．
x
y
O
l
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .
1.直线的倾斜角
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )
练习：
A
直线倾斜角的意义
体现了直线对x轴正方向的倾斜程度
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。
倾斜角相同能确定一条直线吗？
相同倾斜角可作无数互相平行的直线
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角， 二者缺一不可．
确定直线的要素
日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？
问题
2、直线的斜率
倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．
从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系:
k=0
无
k>0
递增
不存在
无
k<0
递增
X
.
p
Y
O
X
.
p
Y
O
X
.
p
Y
O
X
.
p
Y
O
（1）
（2）
（4）
（3）
o
o
例1。标出下列图中直线的倾斜角，并说出各自斜率符号？
k>0
k<0
k不存在
K=0
1.下列哪些说法是正确的（ ）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
F 、直线斜率的范围是R
G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
E、F
练习
练习
k2>k3>k1
3.直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα？
4.任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？
例2。已知直线的斜率K的变化范围为（ –1，1]，
求直线的倾斜角的取值范围。
分析：
因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。
当K∈ （ –1，0）时,
当K∈ [0，1] 时，
解： 直线斜率K的变化范围（ –1，1]=（ –1，0）∪ [0，1]，
所以直线的倾斜角范围为
练习
练习
解:
3、探究：由两点确定的直线的斜率
如图，当α为锐角时，
锐角
如图，当α为钝角是，
钝角
当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？
当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
答：不成立，因为分母为0。
推导二:
练习：已知直线l的一个方向向量
解：
，求直线的斜率。
直线的斜率公式：
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900
求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：
方法：先用经过两点的直线的斜率公式求斜率， 再求倾斜角。
例2
解:
x
y
例4
解:
解:
练习. 已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角与斜率。
（1）A（a，c），B（b，c）

（2）C（a，b），D（a，c）

（3）P（b，b+c），Q（a，c+a）
练习.证明A（1，3），B（5，7），C（10，12）三点共线。
A，B，C三点共线
证明：
知识小结
1、直线的倾斜角的定义
2、直线的斜率的定义
3、两点间斜率公式
作业 已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点P的直线l与线段AB有公共点时,求直线l的斜率k的取值范围.
已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线,
求a 的值.
直线L的倾斜角是连接（3，-5），（0，-9）两点的直线的倾斜角的两倍，求直线L的斜率。
已知直线 和 的斜率分别是 和 ，求它们的倾斜角及确定两条直线的位置关系。
由图可知
解:
Y
O
X