第三章 直线与方程§3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标 1.理解斜率的概念,掌握直线斜率的定义公式,会求已知直线的斜率.2.掌握直线的斜率为正､为负､为0以及斜率不存在的各种情况时直线的特点.3.理解直线的倾斜角的概念,并了解直线的倾斜角与直线斜率之间的关系.
1.当直线l与x轴相交时,我们取_______作为基准,________与________________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.并规定:直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0°,从而可得直线的倾斜角的范围是______________.
x轴
x轴正向
直线l向上方向
0°≤α<180°
预习提纲：
2.倾斜程度相同的直线,其倾斜角必_______;倾斜程度不同的直线,其倾斜角________.
3.把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的________,即k=__________,但要注意,倾斜角是90°的直线没有斜率,只有倾斜角不是90°的直线才有斜率,而且倾斜角不同,直线的斜率也不同,因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.
相等
不相等
斜率
tan α
4.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的斜率公式是 k=____________.5.已知直线上两点A(a1,a2),B(b1,b2), 当直线AB与x轴平行或重合时,有a2_____b2,此时k_____0, 也_______ (填“适合”或“不适合”)斜率公式; 当直线AB与y轴平行或重合时,有a1___________b1,此时斜率____________.
=
=
适合
=
不存在
题型一 斜率､倾斜角的概念
例1:下列叙述中不正确的是( )A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应B.每一条直线都对应唯一的倾斜角C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°D.若直线的倾斜角为α,则直线的斜率为k=tanα
解析:由于每条直线都有唯一的倾斜角.垂直x轴的倾斜角为90°,垂直y轴的倾斜角为0°.当倾斜角为90°时,其斜率tanα不存在,故应选D.
变式训练1:经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在求其斜率.(1)(-1,1)､(3,2);(2)(1,-2),(5,-2);(3)(3,4),(2,5);(4)(2,0),(2, ).
题型二 斜率公式的应用
例2:经过两点A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为135°,求m的值.
由前面已知m≠-1,∴m= . 误区警示:在应用斜率公式时,要注意x1≠x2.因此,本题答案是 不是 或m=-1,应把m=-1舍去.
变式训练2: 当且仅当m为何值时,经过两点A(m,2),B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为60°?
题型三 斜率与倾斜角的关系
例3:过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连结A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,求直线l的倾斜角α与斜率k的取值范围.
分析:作出图示,连结PA､PB,由kPA、kPB的变化来找倾斜角α的范围.
解:连结PA､PB,kPA=-1,kPB=1,由已知l与线段AB总有公共点,∴k∈[-1,1].相应倾斜角α的范围是0°≤α≤45°或135°≤α<180°.
误区警示:由斜率的范围来确定倾斜角α的范围一定要结合图形,观察直线l的运动范围.
变式训练3: 如果直线的斜率k的取值范围是0≤k<1,求它的倾斜角的取值范围.
解:设倾斜角为α,则k=tanα. 又0≤k<1∴0≤tanα<1 又0°≤α<180°,
∴0°≤α<45°.
易错探究
例4:如图所示,已知点A(-2,3),B(3,2),P(0,-2),过点P的直线l与线段AB有公共点,求直线l的斜率k的变化范围.
错因分析:对直线的斜率与倾斜角之间的变化关系理解不准确.直线l是一组绕点P转动而形成的直线,点A和B是它的极端位置,当l从PB位置逆时转到PA时,倾斜角从锐角变化到钝角,其斜率从正数kPB到+∞,又从-∞到一个负数kPA.
技 能 演 练(学生用书P63)
基础强化1.直线l经过原点和点(-1,-1),则它的斜率是( )A.1 B.-1C.-1或1 D.以上都不对
答案:A
2.如下图有三条直线l1,l2,l3,倾斜角分别为α1,α2,α3,则下列关系正确的是( )
A.α1>α2>α3B.α1>α3>α2C.α2>α3>α1D.α3>α2>α1
3.已知M(a,b),N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是( ) A.不存在 B.45° C.135° D.90°
解析:MN⊥x轴,∴倾斜角为90°.
答案:D
4.直线l经过原点和(1,-1),则它的倾斜角是( ) A.45° B.135° C.45°或135° D.-45°
解析:k=tanα=-1,又0°≤α<180°,∴α=135°.
答案:B
5、斜率为2的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点,  则 a,b的值是( ) A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3
答案:C
6.已知点P(3,m)在过M(2,-1),N(-3,4)的直线上,则m=________.
答案:-2
7.已知点P(3,2),点Q在x轴上,若直线PQ的倾斜角为150°,则点Q的坐标为________.
8.已知A(0,1),B(1,0),C(3,2),D(2,3),求证:四边形ABCD为平行四边形.
能力提升9.如下图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率.
解:由于AD∥BC,可知AD与BC所在直线的倾斜角都为60°,其斜率都为tan60°= .又AB∥CD,且AB与x轴重合,从而可知AB与CD的倾斜角都为0°,其斜率都为tan0°=0.由于AC和BD是菱形的对角线,则αAC=30°,αBD=120°,其斜率分别为kAC=tan30°= ,kBD=tan120°=- .
10.已知直线l的斜率k≥-1,求其倾斜角α的取值范围.
解:当-1≤k<0时,即-1≤tanα<0,且0°≤α<180°,∴135°≤α<180°;当k≥0时,即tanα≥0,又∵0°≤α<180°,∴0°≤α<90°.综上知,直线l的倾斜角的取值范围是[0°,90°)∪[135°,180°).
品 味 高 考(学生用书P64)
11.(北京高考)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b),(ab≠0)共线,则 的值等于________.
12.(2014·浙江) 已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线, 则a=________.