【课标要求】
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2．掌握求直线斜率的两种方法．
3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．
3.1.1 倾斜角与斜率
3.1　直线的倾斜角与斜率
【核心扫描】
1．求直线的倾斜角和斜率．(重点)
2．常与三点共线、平面几何知识等结合命题．(难点)
3．准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率．(易混点)
1．倾斜角的概念和范围
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_______与直线l_____方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
当直线l与x轴_____或_____时，我们规定它的倾斜角为0°.直线的倾斜角α的范围是____≤α＜_____．
温馨提示：直线的倾斜角概念的理解注意三个方面：
(1)直线与x轴相交；
(2)x轴正方向；
(3)直线向上的方向
新知导学
正方向
向上
平行
重合
0°
180°
2．斜率的概念及斜率公式
正切值
tan α
k＝0
k＞0
k＜0
不存在
温馨提示　(1)直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系．它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的．但倾斜角是角度，是直线倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映，用斜率比用倾斜角更方便．
(2)直线的倾斜角α与斜率的关系如下表：
探究点1 直角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜角？
提示　是．
探究点2 (1)与x轴垂直的直线l倾斜角等于多少度？其斜率存在吗？
(2)不垂直于x轴的直线l的斜率的大小与在l上取的两个点有关吗？
提示　(1)90°　不存在　(2)无关
互动探究
类型一　直线的倾斜角与斜率的概念
【例1】 已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则直线l和倾斜角为________．
[思路探索]　直线的倾斜角的定义中强调直线向上方向与x轴正向所成的角，才是直线的倾斜角，因而将l与y轴正向所成的30°角转化即可．
解析　有两种情况：
①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
答案　60°或120°
[规律方法]　(1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况．
(2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α在0°≤α＜90°及90°＜α＜180°的增减性来判断．
【活学活用1】 (1)已知点P(1，1)，直线l过点P且不经过第四象限，则直线l的倾斜角α的最大值为 (　　)．
A．135° B．90° C．45° D．30°
(2)如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为 (　　)．
A．k1＜k2＜k3 　　　B．k1＜k3＜k2
C．k2＜k1＜k3 　　　D．k3＜k2＜k1
解析　(1)如图，因为直线l不经过第四象限，故当直线l处于图示位置，即过坐标原点(0，0)时，它的倾斜角有最大值．易求得其值为45°，故选C.
(2)设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1、α2、α3，则0°＜α1＜α2＜α3＜90°，故k1＜k2＜k3，选A.
答案　(1)C　(2)A
【例2】 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围．
[思路探索]　由已知画出图形，由斜率公式求出kPA，kPB，利用数形结合思想解决．
类型二　求斜率及其范围
【活学活用2】 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
类型三　斜率公式的应用
【示例】 求经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．
[错因分析]　未考虑两点斜率公式运用的条件从而忽略了对m＝1情况．
易错辨析　因忽略两点斜率公式的条件而致错
1．下列说法中，正确的是 (　　)．
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
解析　对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.
答案　D
课堂达标
2．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是 (　　)．
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
解析　直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线
l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是
90°＜α＜180°.
答案　C
3．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为________．
答案　－2
4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于 (　　)．
A．1 B．5 C．－1 D．－5
答案　D
5．已知点A(1，2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.
1．直线的斜率和倾斜角是从数和形两个角度来刻画直线的坐标系中的倾斜程度，要理解k＝tan α(α≠90°)在0°≤α＜90°和90°＜α＜180°上的变化情况．
2．注意两个公式的适用条件，注意考虑直线垂直于x轴这种情形，善于运用分类讨论、数形结合思想来思考和解决问题.
课堂小结