直 线 的倾斜角 斜 率
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问题情境
直线—最简单的几何图形
飞逝的流星沿不同的方向运动
在空中形成美丽的直线
问题情境
确定直线的要素
问题1：
(1) _______确定一条直线.
两点
(2) 过一个点有________条直线.
无数条
确定直线位置的要素除了点之外,还有直线的方向,也就是直线的倾斜程度.
.
.
.
问题1：如何确定一条直线在直角坐标
系的位置呢？
两点或一点和方向
问题2：如果已知一点还需附加什么条件，才能确定直线？
一点和方向
问题3：如何表示方向？
用角
问题引入解决本节第一问题
一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义：
当直线 L 与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角
注意： (1)直线向上方向；
(2)轴的正方向。
例1.下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )
练习巩固倾斜角的概念：
A
l1
l2
l3
想一想
例2.看看这三条直线，它们倾斜角的大小关系是什么？设 、 、
分别为 、 、
规定：当直线和x轴平行或重合时，
它的倾斜角为0°
2、直线的倾斜角范围的探索
由此我们得到直线倾斜角α的范围为：
想一想
你认为下列说法对吗？
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜
角与它对应。
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
对
错
3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。
倾斜角相同能确定一条直线吗？
相同倾斜角可作无数互相平行的直线
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问题情境
楼梯的倾斜程度用坡度来刻画
1.2m
3m
3m
2m
坡度=
高度
宽度
坡度越大，楼梯越陡．
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建构数学
直线倾斜程度的刻画
高度
宽度
直线
P
Q
M
直线的倾斜程度=
类比思想
3、探究：由两点确定的直线的斜率
如图，当α为锐角时，
锐角
如图，当α为钝角是，
钝角
当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？
已知直线上两点 ，运用上述公式计算直线 斜率时，与 两点坐标的顺序有关吗？
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数学应用
例1：
l1
l2
l3
l4
解:
直线l1的斜率
k1=
k2=
k3=
直线l4的斜率不存在
直线l2的斜率
直线l3的斜率
P
Q1
Q2
Q3
Q4
直线斜率的计算
K1=1
K2=-1
K3=0
斜率不存在
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纵坐标的增量
已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，
如果 x1≠x2，则直线 PQ的斜率
为：
建构数学
直线斜率的定义
横坐标的增量
请同学们任意给出两点的坐标,并求过这两点的直线的斜率.
数学实践
形
数
2、直线的斜率
倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．
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问题3：
对于一条与x轴不垂直的定直线而言,直线的斜率是定值吗?
是定值,定直线上任意两点确定的斜率总相等
从上可以看出直线的倾斜角与斜率之间的关系:
k=0
无
k>0
递增
不存在
无
k<0
递增
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数学应用
直线斜率的计算
数学实践
仿照例1，自编两题，使直线斜率分别为正数和负数
已知A(2,3),B( m,4),当m为何值时,k>0、k<0?
当 m>2时，k>0
当 m<2时，k<0
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建构数学
问题5：
直线的倾斜方向与直线斜率有何联系？
k>0
k<0
k=0
k不存在
直线从左下方向右上方倾斜
直线从左上方向右下方倾斜
直线与x轴平行或重合
直线垂直于 　　　x轴
拓展研究
1.下列哪些说法是正确的（ ）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等
F 、直线斜率的范围是R
G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
E、F
练习
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数学应用
例2：
经过点A(3,2)画直线，使直线的斜率分别为① 0，② 不存在， ③ 2， ④ -2.
解：
① 过(3，2)，(0，2)
画一条直线即得
②过(3，2)，(3，0)
画一条直线即得
A(3,2）
25
数学应用
例2：
经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率分别为① 0，② 不存在， ③ 2， ④ -2.
x
解：③（法一：待定系数法）
设直线上另一个点为（x,0)，
所以过点(3，2)和(2，0)
画直线即可
说明：也可设点为(0，y)或其它特殊点
则：
A(3,2）
1
2
3
2
3
1
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数学应用
例2：
经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率分别为① 0，② 不存在， ③ 2， ④ -2.
法二：(利用斜率的几何意义）
根据斜率公式 ，斜率为2表示直线
上的任一点沿x轴方向向右平移1个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位后仍在此直线上
即可以把点（3，2）向右平移1个单位，得到点（4，2），
再向上平移2个单位后得到点（4，4），
因此通过点(3，2)，(4，4)画直线即为所求
④ 将点(3，2)向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到点(4，0)，过(3，2)和(4，0)画直线即为所求
A
（4，2）
（4，4）
练习
k2>k3>k1
3.直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα？
4.任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？
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数学应用
如果直线l上一点P沿x轴方向向右平移2个单位,再沿y轴方向向上平移4个单位后仍在直线l上,那么该直线的斜率为多少?
问题6：
拓展研究
斜率为2
问题7：
直线l的斜率为2,将l向左平移1个单位得到直线l1,则l1的斜率为多少?
斜率为2
问题8：
平行直线的斜率之间有怎样的关系?
斜率相等
或斜率都不存在
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课堂竞技场
斜率为2的直线，经过点(3,5),(a,7),
(-1，b)三点，则a,b的值为( )
A、a=4,b=0
B、a=-4,b=-3
C、a=4,b=-3
D、a=-4,b=3
C
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课堂竞技场
数学实践
已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7),求KAB，KBC
KAB=2
KBC=2
问题9：
如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系？
A、B、C三点共线
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判断下列三点是否在同一直线上
(1) A(0,2), B(2,5), C(3,7)
(2) A(-1,4), B(2,1), C(-2,5)
如果三点A(1,1)、B(3,5)、C(-1,a)在一条直线上,求a的值
(a=-3)
课堂竞技场
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课堂竞技场
求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(m∈R)的直线l的斜率k的取值范围。
问题10：
直线斜率的大小与直线的倾斜程度有什么联系？(课后研究)
解:
由斜率公式得直线l 的斜率
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回顾反思
3.平面解析几何的本质是 用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。
两个概念—直线的斜率、倾斜角；
2.两个问题—----
（1）已知直线上两点如何求斜率；
（2）已知一点和斜率如何画出直线。
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难点展示：
例题一：直线 l 过点M(-1,1)且与以P(-2,2)Q(3,3)为两端点的线段PQ有公共点, 求直线 l 的斜率的取值范围。

例2。已知直线的斜率K的变化范围为（ –1，1]，
求直线的倾斜角的取值范围。
分析：
因为直线的斜率正负不同，直线的倾斜角范围也不同，因此，应分斜率为负值和非负值两种情况讨论。
当K∈ （ –1，0）时,
当K∈ [0，1] 时，
解： 直线斜率K的变化范围（ –1，1]=（ –1，0）∪ [0，1]，
所以直线的倾斜角范围为
练习
练习
解:
推导二:
练习：已知直线l的一个方向向量
解：
，求直线的斜率。
由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
求经过已知两点的直线的斜率和倾斜角：
方法：先用经过两点的直线的斜率公式求斜率， 再求倾斜角。
由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
由 及 知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
例2
解:
已知点P(0,-2),A(-1,2),B(2,3)经过点P的直线l与线段AB有公共点时,求直线l的斜率k的取值范围.
已知三点A(2,3),B(a, 4),C(8, a)三点共线,
求a 的值.
直线L的倾斜角是连接（3，-5），（0，-9）两点的直线的倾斜角的两倍，求直线L的斜率。
已知直线 和 的斜率分别是 和 ，求它们的倾斜角及确定两条直线的位置关系。
由图可知
解:
Y
O
X
知识小结
1、直线的倾斜角的定义
2、直线的斜率的定义
3、两点间斜率公式