3.1.1 倾斜角与斜率
补充结论
公式: tan(180°－α)= －tanα
=tan(180°－ 45°)
tan135°
例如:
= - tan45°= - 1.
思考:已知直线 l 过点P(1,0),直线 l 的位置能确定吗?
x
y
l1
O
1
2
3
1
2
3
P
l2
过一点P可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，…它们都经
过点P （组成一个直线束），
这些直线区别在哪里呢？
容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？
倾斜角：直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正方向与直线 l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角.常用α表示.
1）倾斜角的取值范围：
0°≤α＜180°
2）倾斜角的作用——刻画直线相对x轴的倾斜程度
倾斜角
当直线与x轴平行或重合时规定其倾斜角为0°
x
y
O
l
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，
倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，
已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角α．也不能确定一条直线的位置．
但是，直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线．
直线的倾斜角
画一画
(1)请在直角坐标系中画出倾斜角为120°的直线
(2)请在直角坐标系中画出过点P（-2，1）且其倾斜角为1200的直线
结论：确定直线位置的几何要素是：已知直线上的一个定点和这条直线的倾斜角（即直线向上的方向与x轴正方向所成的角）
倾斜角
斜坡（1）
斜坡（2）
思考：日常生活中，我们感觉斜坡(1)比斜坡(2)“陡”
你是用什么来衡量这两个斜坡的倾斜程度的呢？
坡面与地面的夹角
———斜坡的倾斜角α
坡度(比)
＝tanα
定义：直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（倾斜角不为90°）
直线的斜率通常用k表示,即k=tanα
问题1：一条直线的倾斜角α为45°、60°、150°
时直线的斜率分别是多少？一条直线的斜率
为0时直线的倾斜角分别是多少？
问题2：倾斜角能不能为90°?
(由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在,
但是斜率k不一定存在 )
斜率
P1 （x1，y1）
y
O
Q
如何用直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）来表示斜率k (x1≠x2)
过点P1作x轴的平行线
过点P2作y轴的平行线,两线相交于点Q，
P2 （x2，y2）
α
则点Q的坐标为(x2，y1)
当α为锐角时，α=∠QP1P2
x1在RtΔP1P2Q中
当P1P2的方向向上时
x
P1 （x1，y1）
y
O
Q
过点P1作x轴的平行线
过点P2作y轴的平行线,两线相交于点Q，
P2 （x2，y2）
α
则点Q的坐标为(x2，y1)
当α为钝角时，
α=180°－∠QP1P2
x1>x2，y1在RtΔP1P2Q中
如何用直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）来表示斜率k (x1≠x2)
x
P2（x2，y2）
y
O
Q
α
P1 （x1，y1）
P2 （x2，y2）
y
O
Q
P1（x1，y1）
α
当直线P2P1的方向向上时，仿照以上过程，也有
x
x
直线的斜率公式
2、当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？
经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线斜率公式
思考：
无关
不适用
成立
例1 如图 ，已知 ，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
例题分析
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线 及 ．
x
y
O
例题分析
练习
课本 86页 练习 1、2、3
1、已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率
（1）α=30° （2）α=45°
（3）α=120° （4）α＝135°
练习
课本 86页 练习 1、2、3
3、已知a，b，c是两两不等的实数，求经过下列两点
直线的倾斜角
（1）A(a，c)，B(b，c)
（2）C(a，b)，D(a，c)
（3）P(b，b+c)，Q(a，c+a)
练习
如下图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，求菱形各边
和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率
y
x
D
C
B
O(A)
两点间斜率公式
知识小结
倾斜角
斜率
作业：
学生同步课时作业P99-100
斜率增减性讨论