(三)直线与方程
3.1.1倾斜角与斜率
教学目标:
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1.通过探究平面直角坐标系内确定直线位置的条件，理解直线的倾斜角和斜率的概念；
2.在教师的指导下理解直线倾斜角的唯一性，理解直线斜率的存在性，掌握斜率公式的推导过程，会求直线的斜率．
3.通过对直线倾斜角及斜率的学习，体会用代数方法刻画直线斜率的过程；通过坐标法的引入，学会联系、对应转化等辩证思维；初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法．
笛卡儿
在笛卡儿之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。笛卡儿站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。
笛卡儿的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了我们现在称之为的“解析几何学”。
导引:
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问题探究点一　直线的倾斜角及斜率的概念
不能确定.
答:
问题2:过一点P可以作无数条直线,它们都经过点P,这些直线区别在哪里呢?
它们的倾斜程度不同.
答:
问题1:经过一点P的直线l的位置能确定吗?
P
l
P
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
1.直线的倾斜角
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当直线和x轴平行或重合时,规定直线的倾斜角为00.
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
1.直线的倾斜角
问题3:依据倾斜角的定义,你能得出倾斜角α的取值范围吗?
答:
00≤α<1800.
l
l
l
l
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问题4:任何一条直线都有倾斜角吗?
不同的直线其倾斜角一定不相同吗?
只有倾斜角能确定直线的位置吗?
你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么?
答:
由倾斜角的定义可以知道,任何一条直线都有倾斜角;
不同的直线其倾斜角有可能相同,如平行的直线其倾斜角是相同的;
只有倾斜角不能确定直线的位置;
直线上的一个定点以及它的倾斜角,两者缺一不可.
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问题5:日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?
答:
日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”(倾斜程度).
A
B
C
升高
前进
问题6:如果我们使用“倾斜角”这个概念表示“坡度(比)”,那么“坡度(比)”等于什么呢?
即:
坡度(比)=

2.直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率常用小写字母k表示,即
(1)直线的斜率是描述直线倾斜程度的量;
(2)倾斜角是900的直线没有斜率;
(3) .
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答:
坡度(比)等于倾斜角的正切.
注:
问题7:倾斜角的范围与斜率的符号之间有什么关系?
k >0
k不存在
k<0
k=0
l
l
l
l
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P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
问题1:已知直线上两点:P1(x1,y1),P2(x2,y2),(其中x1≠x2),如何求斜率k?
x
y
O
Q(x2,y1)
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
Q(x2,y1)
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
Q(x1,y2)
Q(x1,y2)
斜率公式:
斜率的范围:
问题探究点二　直线的斜率公式
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1.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率;
2.直线的倾斜角为 ,则直线的斜率为 ;
3.平行于x轴的直线的倾斜角是 ;
4.因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在;
5.两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等;
6.两直线的斜率相等,它们的倾斜角也相等;
7.直线斜率的范围是R;
8.过原点的直线,斜率越大,越靠近y轴;
9.直线的倾斜角越大,斜率也越大.
例1.判断下列命题是否正确:
×
×
×
×
×
×
×
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B
由题意知,AB,AC所在直线的倾斜角分别为600,1200,
解析:
所以tan600+tan1200
B
2.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0,则AC,AB所在直线的斜率之和为 ( )
1.下列说法中:
(1)任何一条直线都有唯一的倾斜角;
(2)任何一条直线都有唯一的斜率;
(3)倾斜角为900的直线不存在;
(4)倾斜角为00的直线只有一条.其中正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
练习1.
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例2.如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
直线BC的斜率
直线CA的斜率
<0
解:
直线AB的斜率
>0
>0
由kAB>0及kCA>0知,
直线AB和CA的倾斜角均为锐角,
直线BC的倾斜角为钝角.
由kBC<0知,
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A
C
B
练习2.求下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1)(1,1),(2,4); (2)(-3,5),(0,2);
(3)(2,3),(2,5); (4)(3,-2),(6,-2).
解:
所以倾斜角是锐角;
所以倾斜角是钝角;
k不存在,倾斜角是900;
(3)由x1=x2=2得:
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倾斜角是00.
例3.在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线l1,l2,l3及l4.
设直线l1上的另一个点A1的坐标为(x,y),
根据斜率公式有
解:
所以x=y,
令x=1,y=1,
于是点A1的坐标为(1,1).
此时过原点和点A1(1,1)的直线即为l1,
如图所示.
同理,l2是过原点及A2(1,-1)的直线即为l2,
l3是过原点及A3(1,2)的直线即为l3,
l4是过原点及A4(1,-3)的直线即为l4.
A1
A2
A4
A3
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(2).已知点P(- ,1),点Q在y轴上,
直线PQ的倾斜角为1200,则点Q的坐标为______.
(0,-2)
解析:
因为点Q在y轴上,
则可设其坐标为(0,b).
直线PQ的斜率k=tan1200
=-tan600
∴b=-2,
即点Q的坐标为(0,-2).
P
练习3(1)在平面直角坐标系中,画出经过点P(0,1)且斜率分别为3与-3的直线a和b.
即n=3m+1,
当m=1时,n=4,
A
a
b
同理可得:点B(-1,4)在直线b上.
B
解:
设A(m,n)是直线a上的另外一点.
可作直线a.
则
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此时A(1,4),
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解:∵直线过定点C(0,-1)
当直线处在AC与BC之间时,必与线段AB相交,应满足
或
例4.过定点C(0,-1)的直线与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则斜率
k的取值范围是 .
A
B
C
练习4.经过点P(0,-1)作直线l,与连接A(2,1),B(-1,0)的线段总有公共点,则直线l 的倾斜角α与斜率k的取值范围分别为
.
再见