理解教材新知
突破常考题型
应用落实体验
题型一
题型二
第三章
题型三
3.1

3.1.1
第1部分
跨越高分障碍
随堂即时演练
课时达标检测
知识点一
知识点二
3．1.1　倾斜角与斜率
直线的倾斜角
[提出问题]
在平面直角坐标系中，直线l经过点P.
问题1：直线l的位置能够确定吗？
提示：不能．
问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？
提示：无数条．
问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？
提示：倾斜程度不同．
[导入新知]
1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴_________与直线l______方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.
2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是
________________，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
正方向
向上
0°≤α＜180°
3．倾斜角与直线形状的关系
[化解疑难]
对直线的倾斜角的理解
(1)倾斜角定义中含有三个条件：
①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．
(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．
(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．
(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.
直线的斜率
问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？
提示：可以．
问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？
提示：可以．
问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？
提示：与倾斜角的正切值相等．
[导入新知]
1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的______值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝________.
正切
tanα
3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的
__________．
倾斜程度
[化解疑难]
1．倾斜角α与斜率k的关系
(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．
(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
直线的倾斜角
[例1]　(1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　)
A．30°　　　　　　　 B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
(2)下列说法中，正确的是(　　)
A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α
B．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
C．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α
[解析]　(1)如图，直线l有两种情况，
故l的倾斜角为60°或120°.
(2)对于A，当α＝90°时，直线的斜
率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的
斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D.
[答案]　(1)D　(2)D
[类题通法]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
[活学活用]
1．直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　)
A．[0°，90°)　　　　　　　　　B．[90°，180°)
C．(90°，180°) D．(0°，180°)
解析：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直
线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是(90°，
180°)．
答案：C
答案：D
直线的斜率
[例2]　(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________；
(2)过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为________；
(3)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为 ________．
[答案]　(1)－5　(2)1　(3)0
直线的斜率的应用
[例3]　已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
[易错防范]
1．本题易错误地认为－1≤k≤1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤kPA.
2.如图，过点P的直线l与直线段
AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的
直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．
[随堂即时演练]
1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是(　　)
A．任一直线都有倾斜角，都存在斜率
B．倾斜角为135°的直线的斜率为1
C．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tan α
D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)
解析：任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A、C错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B错误；只有D正确．
答案：D
3．直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________．
答案：135°
4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，
实数a的值为________．
5．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜
率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．