3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
第三章 直线与方程
几何问题
代数化
思考1 已知直线l经过点P，直线l 的位置能够确定吗？
y
不确定.过一个点有无数条直线.
这些直线有何区别？
它们的倾斜程度不同．
如何描述直线的倾斜程度？
x
y
o
α
规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.
l
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角.
直线倾斜角α的范围为：
一、直线的倾斜角
注意：1、对直线的倾斜角的理解
(1)倾斜角定义中含有三个条件:
①x轴正、方向；
②直线向上的方向；
③小于180°的非负角.
2.倾斜角的范围
直线的倾斜角α的范围为______________.
0°≤α<180°
思考:一条直线的倾斜角为0°,这条直线一定与x轴平行吗?
提示:不一定,也可能与x轴重合.
练习：请标出以下直线的倾斜角.
x
y
O
x
y
O
x
y
O
思考2 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
①平面直角坐标系中每一条直线都
有确定的倾斜角;
②倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角;
③倾斜程度相同的直线其倾斜角相同.
x
y
O
l
l"
l'"
思考3 确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素是什么？
x
y
o
α
【提示】直线上的一个定点及它的倾斜角二者缺一不可．
P
l
思考4 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？
3 m
3 m
坡度越大，楼梯越陡．
“坡度（比）”是“倾斜角”的正切值.
二、直线斜率的定义
通常用小写字母k表示，即
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率(slope).
倾斜角α不是90°的直线都有斜率.
注意：
斜率与倾斜角的对应关系
90°
k=0
k>0
k<0
思考5 已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？
若α为钝角，
结论：当
同样，当 的方向向上时，也有
成立.
说明：此公式与两点坐标的顺序无关.
思考6 当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时，
还适用吗？为什么？
O
适用
O
思考7 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，公式还适用吗？
不适用，因为分母为0，斜率不存在.
三、斜率公式
公式特点：
(1)与两点坐标的顺序无关.
(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角.
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°.
经过两点　　　　　　　　 的直线的斜率公式
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法.( )
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )
(3)一个倾斜角α不能确定一条直线.( )
(4)斜率公式与两点的顺序无关.( )
提示：(1)错误.除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度.
(2)错误.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应.
(3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角α.
(4)正确.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换.
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
答案：B
例1 如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
O
x
A
C
B
分析：直接利用公式求解.
由 及 知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由 知，直线BC的倾斜角为钝角．
斜率为正，倾斜角为锐角；
斜率为负，倾斜角为钝角；
斜率为0，倾斜角为0°；
斜率不存在时，倾斜角为直角.
例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线l1，l2，l3及l4.
x
y
解：设A1（x1,y1）是l1上任意一点，根据斜率公式有
即x1=y1.
设x1=1，则y1=1，
于是A1的坐标是（1,1）．
过原点及点A1（1,1）的直线即为l1．
分析：找出直线上异于原点的点.
O
同理l2是过原点及点A2（1，-1）的直线，
l3是过原点及点A3（1，2）的直线，
l4是过原点及点A4（1，-3）的直线．
x
y
O
l1
1.已知A(3，5)，B(4，7)，C(-1，x)三点共线，
则x等于( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
解：选C.因为 又A，B，C三点共线，所以kAB=kAC，即 解得：x=-3.
2．设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，为α＋45°；
当135°≤α＜180°时，为α－135°
D
4.已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率及倾斜角.
(1)A(a,c),B(b,c). (2)C(a,b),D(a,c).
(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).
5.画出经过点（0,2），且斜率为2与-2的直线.
y
解：斜率为2的直线经过（0,2），（-1,0）两点；
斜率为-2的直线经过（0,2），（1,0）两点.
1.直线倾斜角的定义及其范围：
2.斜率k与倾斜角 之间的关系：
3.斜率公式：
“几何问题代数化”的思想.