平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
线线平行
线面垂直
“垂直”变“平行”
符号语言:
简 记:
作 用:
关 键:
b
a
a
寻找平面a
常用结论
2.垂直于同一条直线的两个平面平行.
1.两平行直线，其中一条垂直于一个平
面，则另一条直线也垂直于这个平面.
b
a
a
a
b
l
温故知新:
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
1.面面垂直的定义
2.面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
提出问题：
分析问题：
如果平面a与平面b互相垂直，直线b在平面a 内，那么直线 b 与平面b 的位置关系
有如下几种可能:
b
a
b
A
l
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
结论1：两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内.
思考1.
a Ì a
.
a
b
b
a
P
P
.
结论2:垂直于同一平面的直线和平面平行.
思考2.
a
b
a
(a Ëa )
结论3:如果两个相交平面都垂直于另一个平
面,那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
思考3.
g
a
b
n
m
.
在g 内任取一点A（不在m,n上）,在g 内过A点作直线 a ⊥n，在g 内过A点作直线 b⊥m，
证法1：
.
在a 内作直线a ⊥n
证法2：
在b 内作直线b⊥m
常用结论
1.两个平面垂直，则过某个平面内一点
垂直于另一个平面的直线在该平面内.
2.垂直于同一平面的直线和平面平行.
3.如果两个相交平面都垂直于另一个平面,
那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
1.如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同
于A，B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC,
练习
(2)判断平面PBC与平面PAC
是否垂直,并证明.
(1)求证: BC⊥平面PAC;
.
P
A
C
O
B
例1.如图,已知 PA⊥平面ABC,
平面PAB⊥平面PBC,
求证：BC⊥平面PAB.
线面垂直
P
B
A
C
面面垂直
线线垂直
证明：
过点A作AE⊥PB,垂足为E
∵平面PAB⊥平面PBC，
∴AE⊥平面PBC.
∵BC Ì平面PBC,
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.
平面PAB∩平面PBC＝PB
∴AE⊥BC
BC Ì平面PBC,
故 BC⊥平面PAB
P
B
A
C
例2.如图，将一副三角板拼成直二面角A–BC–D,
其中∠BAC＝90°, AB＝AC , ∠BCD＝90° ,
∠CBD＝30°,
(1) 求证: 平面BAD⊥平面CAD;
(2) 若CD＝2, 求C 到平面BAD的距离;
(3) 求二面角A–BD–C的正切值.
A
C
D
30°
B
(1) 证AB⊥平面ACD;
(2)在RT△ACD中求
斜边上的高CE
(3)tanq ＝2
练习 如图,四棱锥P－ABCD的底面是矩形，AB＝2，BC＝ ，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
(1)证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
课堂小结
2.面面垂直的性质推论：
1.平面与平面垂直的性质定理：
面面垂直
线面垂直
作业
高效学习作业本P110.
2.已知两平面互相垂直,下列命题中正确 的有__个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内
的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面
内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个
平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线,则此
垂线必垂直于另一个平面。
A 3; B 2 ; C 1 ; D 0.
B
课后练习
性质定理概念辩析