2．3.4　平面与平面垂直的性质
1．两个平面垂直的性质定理
如果两个平面垂直，那么在一个平面内 的直线垂直于另一个平面．用数学符号表示为
.
2．重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，必在
．用数学符号表示为
.
(2)如果两个平面互相垂直，第一个平面内一点在第二个平面内的射影一定落在 ．
垂直于交线
α⊥β，α∩β＝b，a⊂β，a⊥b⇒a⊥α
第一个平面内
A∈β，α⊥β，A∈a，a⊥α⇒a⊂β
两个平面的交线上
3．(1)△ABC所在平面外一点P在平面ABC内射影为O，
①若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的 心
*②若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的 心或 心
③若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的 心
(2)∠ACB所在平面外一点P在平面ACB内射影为O，
①若∠PCA＝∠PCB，则O在 .
②若P到∠BCA两边距离相等，
则O在 .
外
内
旁
垂
∠BCA的平分线上
∠BCA的平分线上
4．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是
(　　)
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β　②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β　③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β　④若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β
A．①②　　　 B．①③
C．③④ D．①④
[答案]　D
[解析]　命题①为真命题，垂直于同一条直线的两个不重合平面必平行．
命题②为假命题，例如正方体交于同一点的相邻三个面．
命题③为假命题，例如(如图)．
正四棱锥中，AB⊂面SAB，CD⊂面SCD，AB∥CD.
但面SAB与面SCD不平行，而是相交．
命题④为真命题，因为过直线n作平面γ和平面α相交，设交线为a，则a∥n.
∵m、n为异面直线，m⊂α，n⊂β，∴m、a为相交直线，
∵m∥β，a∥β，∴α∥β.故选D.
本节学习重点和难点：面面垂直性质定理的应用．
两个平面互相垂直并不能保证一个平面内的直线必垂直另一平面，只有在一个平面内，垂直于它们交线的直线才垂直于另一个平面．因此，当两平面垂直时，常添加的辅助线是在一个平面内作两面交线的垂线，或过一个平面内的一点作另一个平面的垂线．此定理可简化为“面面垂直，则线面垂直”．
[例1]　如图平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4cm，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3cm，BD＝12cm，求线段CD的长．
[分析]　为求CD的长，由BD⊥l，α⊥β，易知△BCD为Rt△，BD长已知，只要知道BC长即可．由AC⊥l，知△ABC为Rt△可解．
[解析]　∵AC⊥l，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5.
∵BD⊥l，l＝α∩β，α⊥β，BD⊂β，∴BD⊥α，又BC⊂α
∴BD⊥BC，在Rt△BDC中，DC＝ ＝13，∴CD长为13cm.
[点评]　求线段CD的长可以通过Rt△BDC，也可以通过Rt△ACD.一般求线段的长度问题，要归到三角形中求解．
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
[解析]　(1)证明：在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)证明：由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
PA⊥底面ABCD，∴AB⊥PA，
又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
[例2]　已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l
求证：l⊥γ
[解析]　证法1：在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，作PB垂直β与γ的交线于B，则PA⊥α，PB⊥β，∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB，∵PA与PB相交，又PA⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.
证法2：在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n，又n⊂β，∴m∥β，又m⊂α，α∩β＝l，∴m∥l，∴l⊥γ.
总结评述：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．
证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l′这条辅助线，这是证法三的关键．
通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．
又在原题条件下，添加条件b∥α，b∥β，求证b⊥γ.在l上任取一点B，过b和B的平面交α于过B的直线a′，交β于过B的直线a″，
∵b∥α，∴a′∥b，同理b∥a″，
∵a′和a″同时过B且平行于b.
∴a′和a″重合于直线l，由l⊥γ可得b⊥γ.
如下图，已知V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC，求证：△ABC是直角三角形．
[分析]　灵活运用线垂直于面与面垂直于面的转化．
[证明]　过B作BD⊥VA于D，
∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC，
∴BD⊥AC，又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC，
∴AC⊥平面VAB，∴AC⊥BA，即△ABC是直角三角形.
[例3]　如图，已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB，SB＝BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D.求二面角E－BD－C的大小．
⇒∠EDC为二面角E－BD－C的平面角．
设SA＝a，则SB＝BC＝ a，
∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC，∴BC⊥SB.
∴SC＝2a，∠SCD＝30°，∴∠EDC＝60°，
即二面角E－BD－C的大小是60°.
[例4]　直线l∥平面α，在l上任取一点A作AB⊥α，垂足为B，则AB的长为直线l与平面α的距离．长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1＝5，AB＝12，则直线B1C1与平面A1BCD1的距离等于__________．
[解析]　如图，作B1E⊥A1B，∵A1D1⊥平面ABB1A1，B1E⊂平面ABB1A1，∴A1D1⊥B1E，
又A1B∩A1D1＝A1，∴B1E⊥平面A1BCD1，∴B1E为直线B1C1到平面A1BCD1的距离，由BB1＝5，A1B1＝12，∠A1B1B＝90°知B1E＝
*如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，若AB＝AP＝2，BC＝4，则点P到平面BQD的距离为________．
[解析]　∵Q为线段PA的中点，
∴P点到平面QBD的距离等于A点到平面QBD的距离．在平面AC内过A作BD的垂线AE交BD于E，连QE，
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，
∴BD⊥平面QAE.
在平面QAE内过A作AH⊥QE交QE于H.∵BD⊥AH，∴AH⊥平面BQD.
∴A点到面BQD的距离为AH.
[例5]　已知：平面α⊥平面β，α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a⊥b.求证：a⊥β或b⊥α.
[证明]　若a⊥AB则∵α⊥β，α∩β＝AB，∴a⊥β
若a不垂直于AB，则在直线a上取一点C作CD⊥AB于点D，所以CD⊥β，又b⊂β，∴CD⊥b，
又b⊥a，CD∩a＝c，∴b⊥α
(1)若将上题题干改为：α⊥β，α∩β＝AB，a⊂α，b⊂β，a、b都不与AB垂直，求证：a与b不垂直．
(2)已知平面α⊥平面β，直线a∥α，α∩β＝b，a⊥b，试判断直线a与平面β的位置关系．
[解析]　(1)证明：(反证法)假设a⊥b，
∵a与AB不垂直，过a上一点P作PH⊥AB于H，
∵α⊥β，∴PH⊥β，∵b⊂β，∴PH⊥b，
又a⊥b，a∩PH＝P，∴b⊥α.∵AB⊂α，
∴b⊥AB，这与条件b与AB不垂直矛盾，故a与b不垂直．
(2)解：过a作平面γ∩α＝a′，∵a∥α，∴a∥a′，
又a⊥b，∴a′⊥b，又α⊥β，∴a′⊥β，∴a⊥β.
[例6]　已知Rt△ABC中，AB＝AC＝，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕，将△ABD折起，使∠BDC为直角．
(1)求证：平面ABD⊥平面BDC.
(2)求证：∠BAC＝60°.
(3)求点A到平面BDC的距离．
(4)求点D到平面ABC的距离．
[分析]　抓住等腰Rt△ABC中AD⊥BC，及折叠前后位于折线同侧的点、线位置关系、数量关系都不变．则有AD⊥BD，AD⊥CD，故(1)、(2)、(3)问容易求解．
对于第(4)问，因为△BDC也是等腰直角三角形．取BC中点E，易得BC⊥平面ADE，
∴平面ABC⊥平面ADE，交线为AE，于是D点到平面ABC的距离就是D点到直线AE的距离，又△ADE为Rt△，故距离易求．
[解析]　(1)∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，
∴AD⊥平面BDC
又AD⊂平面ABD.
∴平面ABD⊥平面BDC.
(4)取BC的中点E，∵AB＝AC，BD＝DC，∴DE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面ADE，
∴平面ABC⊥平面ADE.
过D作DM⊥AE于M，则DM⊥平面ABC，∴DM的长即为D到平面ABC的距离．
[点评]　1°第(4)问也可以用等积转换法解决．VA－BDC＝VD－ABC.
2°要证直线与平面垂直主要从以下角度考虑．
①l为α内任一直线，a⊥l⇒a⊥α
②b⊂α，c⊂α，b∩c＝A，a⊥b，a⊥c⇒a⊥α
③a∥b，b⊥α⇒a⊥α
④α⊥β，α∩β＝b，a⊂β，a⊥b⇒a⊥α
3°要证平面与平面垂直主要考虑．
①平面α与β所成的二面角为直二面角⇒α⊥β
②a⊥β，a⊂α⇒α⊥β
[例7]　正三棱锥A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E，F，G，H.
(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由；
(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH？请给出说明．
[解析]　(1)

同理EF∥AD，
∴HG∥EF，同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵A－BCD是正三棱锥，
∴A在底面上的正投影O是△BCD的中心，
∴DO⊥BC，又AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，
∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形．
(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，
∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP，
∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，
又HG⊂面EFGH，∴面BCP⊥面EFGH，
在Rt△APC中，∠CAP＝30°，AC＝a，∴AP＝
如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面ABCD，若BC边上的点Q满足PQ⊥QD，当存在两个这样的点时，a的取值范围是________．

[答案]　0.72
[解析]　解法1：∵PQ⊥QD，又PA⊥平面ABCD，
∴AQ⊥QD.
设BQ＝x(0∴AD2＝AQ2＋DQ2＝AB2＋BQ2＋CQ2＋DC2.
∴a2＝1＋x2＋(a－x)2＋1.∴x2－ax＋1＝0(※)．
当Δ＝a2－4>0时，(※)式有两根，从而满足条件的点有两个，且此时方程的两根
[点评]　解法1从方程的角度研究a具备什么条件，才能使BC边上存在点Q，满足PQ⊥QD，而解法2从数形结合的角度研究a应具备的条件，在学习中要注意体会和总结，要善于展开联想．
一、选择题
1．已知两个平面互相垂直，那么下列命题中正确命题的个数是
(　　)
①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上
④过一个平面内的任意点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面．
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
[答案]　B
[解析]　①②③正确④错误，∵垂线与交线不一定相交，故选B.
2．在空间中，用x、y、z表示不同的直线或平面，若命题“x⊥y，x⊥z，则y∥z”成立，则x、y、z分别表示的元素是
(　　)
A．x、y、z都是直线
B．x、y、z都是平面
C．x、y是平面，z是直线
D．x是直线，y、z是平面
[答案]　D
[解析]　垂直于同一条直线的两直线不一定平行故A错；垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，故B错；一条直线与一个平面都和同一个平面垂直时，直线可能在平面内，故C错．由线面垂直的性质知，D正确．
3．(2010·湖北文，4)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是
(　　)
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
[答案]　C
[解析]　①平行关系的传递性．
②举反例： 在同一平面α内，a⊥b，b⊥c，有a∥c.
③举反例： 如图的长方体中，a∥γ，b∥γ，但a与b相交．
④垂直于同一平面的两直线互相平行．
故①，④正确．
二、填空题
4．直角△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是6 ，那么点P到平面α的距离等于__________．
[答案]　12
5．圆柱的底面半径为20，高为15，有一平行于轴且距离轴为12的截面，则这个截面的面积等于________．
[答案]　480
[解析]　如图截面ACC1A1与上底面相交于AC，作OB⊥AC，垂足为B，则由母线与底面垂直知，OB⊥AA1，
∴OB⊥平面ACC1A1，由题设OB＝12，OA＝20，∴AB＝16，∴AC＝32，又AA1＝15，∴S＝AC·AA1＝480.
三、解答题
6．如图，如果两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，那么另一个平面也垂直于第三个平面．
已知：α∥β，α⊥γ.求证：β⊥γ.
[证明]　设α∩γ＝a，β∩γ＝b.∵α∥β，∴a∥b.
在平面γ内作直线c⊥a，∵α⊥γ，∴c⊥α.
又α∥β，∴c⊥β，∵c⊂γ，∴β⊥γ.