2.3.4 平面与平面垂直的性质
一、复习引入
1、平面与平面垂直的定义
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号表示：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
提出问题：
该命题正确吗？
二、探索研究
Ⅰ. 观察实验
观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?
Ⅱ.概括结论
平面与平面垂直的性质定理
b
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简述为：
面面垂直
线面垂直
该命题正确吗？
符号表示：
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩ β＝l下列命题
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（ ）
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）
√
×
×
例1：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC，
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
解题反思
2、本题充分地体现了面面垂直与 线面垂直之间的相互转化关系。
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一种证明线面垂直的方法
面面垂直
线面垂直
性质定理
判定定理
例 垂直于同一平面的两平面的交线垂直于这个平面。
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法一：
a
设α ∩ γ =b, β ∩ γ =c,在γ 内任取一点P，作PM ⊥ b于M，PN ⊥C于N.
因为 α⊥γ，β ⊥γ ，
所以 PM ⊥ α， PN ⊥ β.
因为 α ∩ β= a，
所以 PM ⊥ a， PN ⊥ a，
所以 a⊥γ.
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法二：
任取P∈a，过点P作b⊥γ.
同一法
a
已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а,求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
所以 b′ ‖c′,
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC，
平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
E
练习3：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD与平面ABC所成的角。
A
B
C
D
D
A
B
C
O
O
折成
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。
三、小结反思
小结
线线垂直
线面垂直
面面垂直
线线平行
面面平行
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号表示:
简述为：
面面垂直
线面垂直
B
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（ ）个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面。
A 3 B 2 C 1 D 0
B