平面习题课
点、线、面之间的位置关系及语言表达
点A在直线a上
A∈a
点A不在直线a上
点A在平面α上
A∈α
点A不在平面α上
直线a在平面α内
直线a在平面α外
b∩α＝A
a∩α＝φ 或 a∥α
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公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点都在这个平面内）。
文字语言：
图形语言：
符号语言：
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文字语言：
图形语言：
符号语言：
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
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文字语言：
图形语言：
符号语言：
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么
这两个平面有且只有一条过该点的公共直线。
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推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
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经过不共线三点
确定平面的条件：
经过一条直线和直线外的一点
经过两条相交直线
经过两条平行直线
有且只有一个平面
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概念巩固
下列四个命题中，正确的是( )
A、任何一个平面图形都是一个平面
B、平面就是平行四边形
C、平面图形可以看成是点的有限集
D、三角形可以确定一个平面
D
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概念巩固
下列四个命题中，正确的是( )
A、三个点确定一个平面
B、一条直线和一个点确定一个平面
C、两条相交直线确定一个平面
D、两条平行直线确定一个平面
C，D
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下列五个命题中，正确的是( )
A、四边形一定是平面图形
B、空间的三个点确定一个平面
C、梯形一定是平面图形
D、六边形一定是平面图形
E、三角形一定是平面图形
C、E
概念巩固
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要点二 共面问题
某些点或线在同一个平面内，称之为这些点、线共面．
证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，及其推论，常用方法有：
1．先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
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2．先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
3．假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
[例1]　已知△ABC的边AB、BC在平面α内，判断AC是否在平面α内．
[解析]　∵AB在平面α内，
∴A点一定在平面α内．
∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内．
∴点A、点C都在平面α内．
∴直线AC在平面α内(公理1)．
[点评]　将上述证明过程用符号表示为：∵AB⊂α，∴A∈α，∵BC⊂α，∴C∈α，∴AC⊂α.
可见符号语言比文字语言简捷得多，因此应加强符号语言的应用，熟练地将三种语言相互转化．
三条直线a、b、c两两相交，有三个交点，已知a与b都在平面α内，求证c也在平面α内．
[分析]　如图，设a∩b＝D，a∩c＝F，b∩c＝E，
由a⊂α可知，F∈α，
由b⊂α知，E∈α，由E∈c，F∈c知，c⊂α.
[解析]　已知a⊂α，b⊂α，
设a∩b＝D，a∩c＝F，b∩c＝E，如图．
求证：c⊂α.
证明：∵a∩c＝F，∴F∈c，F∈a，
∵a⊂α，F∈a，∴F∈α；
同理可知E∈α，∴EF⊂α，即c⊂α.
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变式4　如图三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点．
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证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.
由于直线a和b不平行，∴a、b必相交．
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c　即交线c经过点P.
∴a、b、c三条直线相交于同一点．
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多点共线问题的证明
[例3]　定义：若A、B、C、D四点不共面，顺次连接四点得四边形ABCD称作空间四边形．
若空间四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA上各有一点P、Q、R、S，且直线PS与QR交于点K，求证B、D、K共线．
[分析]　欲证B、D、K三点共线，只要证明K在直线BD上，而BD是平面ABD与平面BDC的交线，故运用公理3可获证．
[证明]　∵PS∩QR＝K，
∴K∈PS，
∵PS⊂平面ABD，∴K∈平面ABD
同理，K∈平面BCD
又BD＝平面ABD∩平面BCD
据公理3，K∈BD　即B、D、K共线．
总结评述：证明三点共线，一般先证两点确定的直线是某两个平面的交线，再证第三个点是两平面的一个公共点．也可以证明三点都是两个平面的公共点，两个平面不重合．
要点四 共点问题
利用公理3证明多线共点：任意两条直线的交点是两个平面的公共点，两个平面的公共点在两个平面的交线上．
例4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：CE、D1F、DA三线交于一点．
【分析】　因为CE⊂平面ABCD，D1F⊂平面ADD1A1，且平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD.所以可证明D1F与CE的交点在直线DA上．
又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD.
∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理3，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一点．
【规律方法】　证明三线共点的基本方法是：(1)先说明两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面内，于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点．(2)也可以先说明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再说明A、B是同一点，从而得到a、b、c三线共点．
D1
D
C
B
A
C1
B1
A1
M
N
例3：求作下列截面：
练习：
(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状。
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讨论题2：
一个平面将空间分成几部分？
两个平面将空间分成几部分？
三个平面将空间分成几部分？
(两部分)
(三部分或四部分)
(四,六,七,八部分)
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3. 3个平面把空间分成几部分？
练习巩固：
4
6
6
7
8
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补充练习：
1
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平面，则可以作_____________个不同的平面 .
1或4或6
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感谢你的聆听！
感谢你的真诚
祝福你们！
1、课本第112页 A组 第1 2,题,B组 第2题
2、思考： 一扇门用两个合页加一把锁就固定了，这是依据什么原理？。
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4．空间四点，可以确定平面的个数是(　　)
A．0　　　　　　 B．1
C．1或4 D．1或4或无数个
解析：当这四点共面时，若这四点共线，确定无数个平面，若这四点中仅有三点或任三点均不共线但共面时，确定1个平面；当这四点不共面时，确定4个平面．
答案：D