第二章　点、直线、平面之间的位置关系
2．1　空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1　平　面
第二章　点、直线、平面之间的位置关系
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重点难点
重点：用符号语言、图形语言描述空间点、直线、平面间的位置关系．
难点：对平面概念的理解及应用．
1．平面的有关概念
(1)定义：平面是最基本的不加定义的原始几何概念，平面无厚薄，无大小，是无限延展的，通常用_____________表示平面．
平行四边形
(2)平面的表示法
常把一个希腊字母如α，β或γ等写在表示平面的平行四边形的一个角上来表示平面．如图①所示，表示平面α.如图②所示，表示平面α、平面β.也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图①所示中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD.
想一想一个平面能把空间分成几部分？
提示：因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分．
做一做 1.下列说法：
①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的长是100 m，宽是90 m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念．
其中正确的个数为________．
答案：1
2．点、直线、平面之间的位置关系及语言表达
A∉α
l⊂α
l⊄α
做一做 2.如图所示，点A________平面ABC；点A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________.
答案：∈　∉　⊂　直线BC
3．平面的基本性质
(1)公理1
①文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
②符号语言：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒________
③图形语言：
l⊂α
(2)公理2
①文字语言：过__________________的三点，有且只有一个平面．
②符号语言：A、B、C三点不共线⇒存在唯一的α使A、B、C∈α.
③图形语言：
不在一条直线上
④三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面． 
推论1亦可说成，直线及其外一点确定一个平面．
推论2：经过两相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两平行直线有且只有一个平面．
(3)公理3
①文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的____________．

③图形语言：
公共直线
∈
l
∈
做一做 3.两个平面重合的条件是(　　)
A．有三个公共点
B．有无数个公共点
C．有一条公共直线
D．有两条相交公共直线
解析：选D.两条相交直线确定一个平面．
题型一　点线共面问题
已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面．
【题型探究】
【名师点评】　四条直线两两相交且不共点有两种情况：一是无三线共点，二是有三线共点，要分两种情况加以证明．
互动探究
1．若将本例中条件改为三条直线，且已知a∥b，直线l与a，b都相交，交点分别为A，B.如何证明直线a，b，l共面？
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.求证：B、E、D1三点共线．
【证明】　如图，连接A1B、BD1、CD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，
∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
∵A1C⊂平面A1BCD1，
∴E∈平面A1BCD1.
∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1＝BD1，
∴E∈BD1，
∴B、E、D1三点共线．
题型二　多点共线问题
【名师点评】　本题的方法是利用公理3证明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个平面的交线上．
跟踪训练 2．如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
证明：EF，GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面．
又∵EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
∵平面ABD∩平面CBD＝BD，
由公理3可得P∈BD.
∴点P在直线BD上．

题型三　多线共点问题
【名师点评】　证明本题的关键是证直线EG与直线FH相交，直线AC经过该交点．
跟踪训练
3．证明：三棱台A1B1C1－ABC三条侧棱延长后相交于一点．
证明：延长AA1，BB1，设AA1∩BB1＝P，
又BB1⊂面BC1，∴P∈面BC1，
AA1⊂面AC1，∴P∈面AC1，
∴P为平面BC1和面AC1的公共点，
又∵面BC1∩面AC1＝CC1，
∴P∈CC1，
即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.
1．证明多点、多线共面的常用方法
(1)直接利用公理2和它的三个推论判断．
(2)先由给定的点和直线中的某些元素确定一个平面，其理论依据是公理2及其三个推论，再利用公理1证明其他元素在这个平面内．
(3)先说明一些元素在一个平面内，其余元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合．证明两个平面重合的主要依据是确定平面的条件．如例1.
【方法感悟】
2．证明点共线的方法
(1)首先找出两个平面的交线，然后证明这若干点都是这两个平面的公共点，根据公理3，可推知这些点都在交线上，即证若干点共线．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另外一些点都在这条直线上．如例2.
3．证明三线共点的基本方法
(1)先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线．由公理3知，不重合的两个平面的公共点在它们的交线上，从而证明了三线共点．
(2)先将其中一条直线看作是某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，由三角形全等推导出线段相等，证明这两点重合，从而证明三线共点．
下列命题：
①和平行直线a，b都相交的两条直线在同一个平面内；
②三条两两相交的直线在同一平面内；
③有三个不同公共点的两个平面重合；
④两两平行的三条直线确定三个平面．
其中正确的命题个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
易错警示 因思考问题不全面，以偏概全而致误
【常见错误】　①对④错是比较容易看出的，对于②③则容易以偏概全，思考问题不够全面，忽略一部分可能的结果．错选B.
【解析】　由两条平行线确定一个平面可知①正确，对于②三条两两相交直线，交点可能是一个，也可能是不同的三个点，当三线交于一点时，可能不在同一平面内，故②错，对于③当三点共线时这两个平面可能相交，对于④存在三线两两平行且共面的情况，故④错．
【答案】　D
【失误防范】　公理2及其推论①②③是确定平面的依据，由于空间几何图形的多样性在判定或证明共面问题时应全面思考问题，防止以偏概全而致误．
本部分内容讲解结束
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