2.1.1 平面
一、平面及其表示法
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果.
2. 平面的特征：
2. 平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面
在空间是无限延伸的.
3. 平面的画法：
3. 平面的画法：
(1)水平放置的平面：
3. 平面的画法：

(1)水平放置的平面：
3. 平面的画法：

(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：
3. 平面的画法：

(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：

3. 平面的画法：

通常把表示平面的平行四边形的锐角画成45o.
(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：

3. 平面的画法：
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一
部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，
也可以不画.
3. 平面的画法：
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一
部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，
也可以不画.
3. 平面的画法：
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一
部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，
也可以不画.
3. 平面的画法：


平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
4. 平面的表示方法：
平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
4. 平面的表示方法：
如
平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
4. 平面的表示方法：
如
平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
4. 平面的表示方法：
如
平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
4. 平面的表示方法：
如
平面可以用希腊字母表示，也可以用
代表表示平面的平行四边形的四个顶点或
相对的两个顶点字母表示.
4. 平面的表示方法：
如
例1. 画出两个竖直放置的相交平面.
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
(1)点与直线的位置关系：
A
a
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
(1)点与直线的位置关系：
A
a
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
(1)点与直线的位置关系：
记为A∈a.
A
a
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
(1)点与直线的位置关系：
记为A∈a.
A
a
B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
点B不在直线a上：
(1)点与直线的位置关系：
记为A∈a.
A
a
B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
点B不在直线a上：
(1)点与直线的位置关系：
记为A∈a.
记为Ba.
A
a
B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
点B不在直线a上：
(1)点与直线的位置关系：
(2)点与平面的位置关系：
记为A∈a.
记为Ba.
A
a
B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
点B不在直线a上：
(1)点与直线的位置关系：
(2)点与平面的位置关系：
记为A∈a.
记为Ba.
A
A
a
B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
点B不在直线a上：
点A在平面上：
(1)点与直线的位置关系：
(2)点与平面的位置关系：
记为A∈a.
记为Ba.
A
A
a
B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
点B不在直线a上：
点A在平面上：
(1)点与直线的位置关系：
(2)点与平面的位置关系：
记为A∈a.
记为Ba.
记为A∈.
A
A
a
B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
点B不在直线a上：
点A在平面上：
(1)点与直线的位置关系：
(2)点与平面的位置关系：
记为A∈a.
记为Ba.
记为A∈.
A
B
A
a
B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
点B不在直线a上：
点A在平面上：
点B不在平面上：
(1)点与直线的位置关系：
(2)点与平面的位置关系：
记为A∈a.
记为Ba.
记为A∈.
A
B
A
a
B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的
位置关系：
点A在直线a上：
点B不在直线a上：
点A在平面上：
点B不在平面上：
(1)点与直线的位置关系：
(2)点与平面的位置关系：
记为A∈a.
记为Ba.
记为A∈.
记为B.
A
B
A
a
B
例2. 把下列语句用集合符号表示，并画
出直观图.
(1) 点A在平面内，点B不在平面内，
点A，B都在直线a上；
(2) 平面与平面相交于直线m，直线a
在平面内且平行于直线m.
例2. 把下列语句用集合符号表示，并画
出直观图.
(1) 点A在平面内，点B不在平面内，
点A，B都在直线a上；
(2) 平面与平面相交于直线m，直线a
在平面内且平行于直线m.
A
B
a

例2. 把下列语句用集合符号表示，并画
出直观图.
(1) 点A在平面内，点B不在平面内，
点A，B都在直线a上；
(2) 平面与平面相交于直线m，直线a
在平面内且平行于直线m.


m
a
A
B
a

例3. 把下列图形中的点、线、面关系用
集合符号表示出来.
l


a
B
A
l


a
B
A
二、平面的基本性质
A
B
观察下图，你能得到什么结论？
A
B
观察下图，你能得到什么结论？
公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内).
A
B
观察下图，你能得到什么结论？
公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内).
公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内).
公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内).
公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内).
文字语言：
图形语言：
符号语言：
公理1 如果一条直线上两点在一个平
面内，那么这条直线上的所有的点都在
这个平面内(即直线在平面内).
文字语言：
图形语言：
符号语言：
公理1是判断直线是否在平面内的依据.
观察下图，你能得到什么结论？
B
C
A
B
C
A
B
C
A
观察下图，你能得到什么结论？
公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.
B
C
A
B
C
A
观察下图，你能得到什么结论？
文字语言：
文字语言：
公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.
文字语言：
图形语言：
公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.
文字语言：
图形语言：
公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.
文字语言：
图形语言：
符号语言：
公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.
文字语言：
图形语言：
符号语言：
公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.
文字语言：
图形语言：
符号语言：
公理2 过不在同一直线上的三点，有
且只有一个平面.
公理2是确定一个平面的依据.
天花板
墙面
墙面
观察下图，你能得到什么结论？
P
天花板
墙面
墙面
观察下图，你能得到什么结论？
观察下图，你能得到什么结论？
P
天花板
墙面
墙面
公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.
P
天花板
墙面
墙面
观察下图，你能得到什么结论？
文字语言：
文字语言：
公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.
文字语言：
图形语言：
公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.
文字语言：
图形语言：
公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.
文字语言：
图形语言：
符号语言：
公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.
文字语言：
图形语言：
符号语言：
公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.
文字语言：
图形语言：
符号语言：
公理3 如果两个不重合的平面有一个
公共点，那么这两个平面有且只有一条
过该点的公共直线.
公理3是判定两个平面是否相交的依据.
(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a.
(4) 平面与平面相交，它们只有有限个
例4. 判断下列命题是否正确:
( )
(1) 经过三点确定一个平面.
( )
( )
( )
公共点.
(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a.
(4) 平面与平面相交，它们只有有限个
例4. 判断下列命题是否正确:
( )
(1) 经过三点确定一个平面.
( )
( )
( )
公共点.
(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a.
(4) 平面与平面相交，它们只有有限个
例4. 判断下列命题是否正确:
( )
(1) 经过三点确定一个平面.
( )
( )
( )
公共点.
(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a.
(4) 平面与平面相交，它们只有有限个
例4. 判断下列命题是否正确:
( )
(1) 经过三点确定一个平面.
( )
( )
( )
公共点.
(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a.
(4) 平面与平面相交，它们只有有限个
例4. 判断下列命题是否正确:
( )
(1) 经过三点确定一个平面.
( )
( )
( )
公共点.
(2) 经过同一点的三条直线确定一个平面.
(3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a.
(4) 平面与平面相交，它们只有有限个
例4. 判断下列命题是否正确:
( )
(1) 经过三点确定一个平面.
( )
( )
( )
练习 课本P.43练习第1、2、3、4题
公共点.
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一
个平面.
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一
个平面.
A
C
l
B
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一
个平面.
推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.
A
C
l
B
公理2 过不在同一直线上的三点，有且只
有一个平面.
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一
个平面.
推论2 两条相交直线唯一确定一个平面.
推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
A
C
B
l
练习：根据下列条件作图：
(1) A∈，a，A∈a；
(2) a ，b，c，且a∩b＝A，
b∩c＝B，c∩a=C.
1. 平面的概念，画法及表示方法；
2. 平面的性质及其作用；
3. 符号表示.
课堂小结