2.3
幂
函
数
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = ______
w 元
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = ____
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = ____
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=__________
____是____的函数
a²
a³
V是a的函数
t⁻¹ km/s
v是t 的函数
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长_________
a是S的函数
以上问题中的函数具有什么共同特征?
P
w
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
____是____的函数
S
a
注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，
几点说明:
1、对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，-1时的情形。
2、幂函数不象指数函数和对数函数，其定义域随 的不同而不同。
定义：
底数
指数
指数
底数
幂值
幂值
幂函数与指数函数的对比
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看未知数x是指数还是底数
幂函数
指数函数
答案:(1)
下面研究幂函数
在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.
结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。
研究 y=x
y=x
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?
在第一象限内，
当a>0时，图象随x增大而上升。
当a<0时，图象随x增大而下降
不管指数是多少,图象都经过哪个定点?
图象都经过点（1，1）
a>0时,图象还都过点(0,0)点
奇
偶
奇
非奇
非偶
奇
(1,1)
R
R
R
{x|x≠0}
［0,+∞）
R
R
{y|y≠0}
［0,+∞）
［0,+∞）
在R上增
在（-∞，0)上减，
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
在R上增
在［0，+∞）上增，
在（-∞，0]上减,
在［0，+∞）上增，
在(0，+∞)上减
例1
如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。
解:依题意,得
解方程,得 m=2或m=-1
检验:当 m=2时,函数为
符合题意.当m=-1时,函数为
不合题意,舍去.所以m=2

解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3　∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习2
＜
＜
≤
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xa在第一象限内的图象，已知 a分别取 四个值，则相应图象依次为:________
一般地，幂函数的图象在直线x=1
的右侧，大指数在上，小指数在下，
在Y轴与直线x =1之间正好相反。
C4
C2
C3
C1
1
复习用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2;
(2). 作差 f(x1)－f(x2)，变形 ;
(3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
(4). 下结论.
例3
证明:任取
所以幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。
(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。
即
所以
幂函数
定义
五个特殊幂函数
图象
基本性质
本节知识结构:
作业：
作业：
1. P79习题2.3 第2题； 2. 《创新设计》P62课后智能提升第7题。
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