幂函数及其性质
学习目标
一、知识目标：
1.通过实例了解并记住幂函数的概念.
2.结合几个常见幂函数的图象观察图象特征并能自行发现幂函数的性质.
3.记住幂函数的性质并会应用.
能力目标：
通过观察图象特征来归纳函数性质,
从而培养学生数形结合的能力.
情感目标：
通过观察图象体会数学的简洁美.
一、幂函数的概念的引入
阅读课本第85页的具体实例（1）－（5），思考下列问题：
1.它们的解析式分别是什么？若用 表示自变量, 表示 的函数,上述五个函数解析式分别是什么?
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数p = 元， 。
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 是S = ， 。
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积是V = ， 。
问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a= ， 。
问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = ， 。
w
这里p是w的函数
a²
这里S是a的函数
a³
这里V是a的函数
这里a是S的函数
这里v是t的函数
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:
以上问题中的函数有什么共同特征？
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂；
（3）指数为常数；
（4）自变量前的系数为1;
（5）幂前的系数也为1。
一般地，函数y= 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
注意:幂函数中α的可以为任意实数.
一、幂函数的定义：
一般地，我们把形如 的函数叫做幂函数，其中 为自变量， 为常数。
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
答案（2）（5）
思考：指数函数y=ax与幂函数y=xα有什么区别？
a为底数
指数
α为指数
底数
幂值
幂值
二、幂函数与指数函数比较
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
幂函数
指数函数
二、五个常用幂函数的图像和性质
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
用描点法作出函数y=x3的图象.
用描点法作出函数 的图象.
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
函数 的图像
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
y = x
R
R
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
在R上是增函数
在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数
在R上是增函数
在(0，+∞)上是增函数
在( －∞,0)，(0, +∞）上是减函数
（1，1）
奇偶性
y = x2
a=1
小结： 幂函数的性质:
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
如果α<0,则幂函数
在(0,+∞)上为减函数。
3.如果α>0,则幂函数
在(0,+∞)上为增函数;
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3　∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习(4)
2）
4）
＜
＜
＞
＞
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:________
一般地，幂函数的图象在直线x=1
的右侧，大指数在上，小指数在下，
指大图高
C4
C2
C3
C1
1
思考4：根据上述五个函数的图象，你能归纳出幂函数 在第一象限的图象特征吗？
1.图象都过点(1,1)
2.α>0时图象过原点且上升，α<0时图象不过原点且下降，同时以两坐标轴为惭近线.
3.在 x=1 的右侧指大图高.
1
1
小结:
1．记住幂函数的定义；
2．掌握幂函数的图象和性质；
3．能利用幂函数的性质解决有关问题;
4．这节课我们从观察图象入手,运用自然语言描述了函数的图象特征,最后抽象到运用数学语言和符号刻画了相应的数量特征. 这是一个循序渐进的过程,这也是数学学习和研究中经常使用的方法.
再见!