2．3　幂函数
研 习 新 知
思考感悟
幂函数的图象能过第四象限吗？
提示：对幂函数y＝xα而言，当x>0时，必有y>0，故幂函数图象不过第四象限．
自 我 检 测
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是(　　)
A．y＝－x3　　　　　　 　B．y＝x－3
C．y＝2x3 D．y＝x3－1
答案：B
答案：C
答案：2
4．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为________．
5．函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，且函数f(x)为偶函数，求m的值．
解：∵f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋2是幂函数，
∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0.
∴m＝1或m＝2.
当m＝1时，f(x)＝x3为奇函数，不符合题意．
当m＝2时，f(x)＝x4为偶函数，满足题目要求．所以m＝2.
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变式体验1　已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m.
解：∵f(x)＝(m2－m－1)·x m2－2m－2是幂函数．
则m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x－2；当m＝－1时，f(x)＝x.
又∵当x∈(0，＋∞)时，函数是减函数，
∴f(x)＝x－2，m＝2为所求．
类型二　　幂函数的图象问题
[例2]　如图2，曲线C1与曲线C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．nB．mC．n>m>0
D．m>n>0
图2
[解析]　由幂函数的图象知，m，n均小于0，取特殊值，令x＝2，由图象可知，2m>2n，而y＝2x为增函数，所以0>m>n.故选择A.
[点评]　此题将幂函数的问题转化为指数函数来研究，很巧妙，而且使题迎刃而解．
变式体验2　
幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的图象如图3所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．a>b>c>d
B．d>b>c>a
C．d>c>b>a
D．b>c>d>a
图3
解析：本题考查幂函数的性质及图象．由幂函数的性质可知，当x>1时，幂指数大的函数值较大，图象位置较高．故有b>c>d>a.故选D.
答案：D
[点评]　当幂函数的指数为分数形式时，须将其转化为熟悉的根式，利用根式的有关要求求出自变量的取值范围．
类型四　　比较大小
[例4]　比较下列各组中三个数的大小．
[分析]　本题考查幂函数及指数函数的单调性．