幂 函 数
说出下列函数的名称
正比例函数
反比例函数
一次函数
二次函数
常数函数
指数函数
对数函数
我们见过这样形式的函数吗？
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数p = 元， 。
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 是S = ， 。
问题3：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积是V = ， 。
问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a= ， 。
问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = ， 。
w
这里p是w的函数
a²
这里S是a的函数
a³
这里V是a的函数
这里a是S的函数
这里v是t的函数
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:
思考：以上问题中的关系式有什么共同特征？
（1）都是以自变量x为底数；
（2）指数为常数；
（3）自变量x前的系数为1;
（4）只有一项。
一、幂函数的定义：
一般地，我们把形如 的函数叫做幂函数，其中 为自变量， 为常数。
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
答案（2）（5）
思考：指数函数y=ax与幂函数y=xα有什么区别？
a为底数
指数
α为指数
底数
幂值
幂值
二、幂函数与指数函数比较
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
幂函数
指数函数
（指数函数）
（幂函数）
（指数函数）
（幂函数）
快速反应
（指数函数）
（幂函数）
已知函数　　　　　　　　 是幂函数,并且是偶函数，求m的值。
练习1：
这种方法叫待定系数法
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
二、五个常用幂函数的图像和性质
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
-8
-1
0
1
8
27
0
1
0
x
y
y=x3
/
/
64
2
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
函数 的图像
y = x
R
R
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
在R上是增函数
在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数
在R上是增函数
在(0，+∞)上是增函数
在( －∞,0)，(0, +∞）上是减函数
（1，1）
奇偶性
y = x2
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1,1)
(2,4)
(-2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
y=x
幂函数y＝xα(α∈R)随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同．但它们的图象均不经过第四象限，在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定.
在第一象限内，
α >0,在(0,+∞)上为增函数;
α <0,在(0,+∞)上为减函数.
幂函数的图象都通过点(1,1)
α为奇数时,幂函数为奇函数,
α为偶数时,幂函数为偶函数.

解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3　∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习(4)
2）
4）
＜
＜
＞
＞
方法技巧:分子有理化
例2：
a<0
a>1
0归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
a=1
理论
指数大于1,在第一象限为
抛物线型（凹）；
指数等于1,在第一象限为
上升的射线；
指数大于0小于1,在第一象
限为抛物线型（凸）；
指数等于0,在第一象限为
水平的射线；
指数小于0,在第一象限为
双曲线型；
归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况
练习: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:________
一般地，幂函数的图象
在直线x=1的右侧，大指
数在上，小指数在下。
C4
C2
C3
C1
1
a=1
小结： 幂函数的性质:
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
如果α<0,则幂函数
在(0,+∞)上为减函数。
3.如果α>0,则幂函数
在(0,+∞)上为增函数;
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
作业:
利用单调性判断下列各值的大小。
再见
解析：∵y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴α＝－1不合题意．排除B、C、D，故选A.
答案：A
答案：B
解析：代入验证．

答案：－1或2
4．已知函数f(x)＝x ，且f(2x－1)5．已知 ，m为何值时，f(x)是：

(1)正比例函数；

(2)反比例函数；

(3)二次函数；

(4)幂函数．
答案：B
答案：C
【例2】　右图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则 (　　)
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
幂函数图象在第一象限的分布情况：
解析：此类题有一简捷解决办法，在(0,1)内取同一x值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”，如右图，∴0答案：B
在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象

越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数

的指数越大，图象越远离x轴.
变式迁移 2　给出关于幂函数的以下说法：
①幂函数的图象都经过(1,1)点；
②幂函数的图象都经过(0,0)点；
③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；
④幂函数的图象不可能经过第四象限；
⑤幂函数在第一象限内一定有图象；
⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．
其中正确的说法有________．
答案：①④⑤
(3)由于指数函数y＝0.2x在R上是减函数，

所以0.20.5<0.20.3.又由于幂函数y＝x0.3在

(0，＋∞)是递增函数，所以

0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.
练习: 比较下列各组数的大小
变式迁移 3　设a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为 (　　)
A．a>b>c B．aC．a解析：∵y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数且0.2<0.3，∴0.20.3<0.30.3，
又∵y＝0.3x在R上是减函数且0.3>0.2，
∴0.30.3<0.30.2.
综上，知0.20.3<0.30.3<0.30.2，即a答案：B
已知幂函数 与

的图象都与X、Y轴都没有公共点，且

的图象关于y轴对称，求的
值．
幂函数 是偶函数，且在

上为增函数，求函数解析式.
解：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m2＋m为偶数．
∴函数f(x)＝ (m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且函数f(x)在其定义域上为增函数．
2．利用幂函数和指数函数的单调性比较幂值的大小
(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；
(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；
(3)当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小；
(4)比较多个幂值的大小，一般也采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．