2.3 幂函数
我们先看下面几个具体问题：
（1）如果边长为a，那么正方形的面积
(2) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积
(3) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长
S=a2，这里S是a的函数；
V=a3，这里V是a的函数；
它们有以下共同特点：
(1)都是函数；
(3) 均是以自变量为底的幂；
(2) 指数为常数.
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
幂函数中α的可以为任意实数.
注意:
议一议:幂函数与指数函数共同点与不同点是什么?
底数
指数
指数
底数
幂值
幂值
幂函数与指数函数的对比
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看未知数x是指数还是底数
幂函数
指数函数
2.若幂函数y=f(x)的图象过点 ,则函数的解析式为__________
√
x
√
x
√
x
常见幂函数图象
y=x2
y=x
y=x-1
y=x3
(-∞,0)减
(-∞,0]减
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
公共点
(0,+∞)减
增
增
[0,+∞)增
增
单调性
奇
非奇非偶
奇
偶
奇
奇偶性
[0,+∞)
R
[0,+∞)
R
值域
[0,+∞)
Ｒ
Ｒ
Ｒ
定义域
y=x-1
y=x3
y=x2
y=x
函数
性质
常见幂函数的性质
(1)幂函数的图象都通过点
(2) 如果α＞０，
在区间[0,+∞)上是
如果a＜０，
在区间(0,+∞)上是
当α为偶数时，
幂函数为
探究：幂函数的性质
增函数
减函数
(3) 当α为奇数时，
幂函数为
奇函数
偶函数；
(1,1)
X
y
1
1
0
y=x2
y=x3
y=x1/2
X
y
1
1
0
y=x-1
y=x-2
y=x-1/2
a > 0
a < 0
（1）图象都过（0，0）点和
（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值
随x 的增大而增大，即
在[0，+∞)上是增函
数。
（1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x
轴无限接近。
例1 比较大小：
（1）1.53/5 1.73/5 （2）0.71.5 0.61.5

（3）2.2-2/3 1.8-2/3 （4）0.15-1.2 0.17-1.2
<
<
>
>
例2 求下列函数的定义域：
（1）y = (2x+5)1/2 （2）y = (x-3)-1/5
(1)解:y =
x≥-5/2
函数y = (2x+5)1/2 的
定义域为[ -5/2，+∞) .
解：y =
解不等式 x – 3 ≠0得
X ≠ 3
函数y=(x-3)-1/5的定
义域为(-∞,3)∪(3,+∞).
解不等式2x+5≥0 得
例3　比较下列各组数的大小:
利用幂函数的增减性比较两个数的大小.
注意:
当不能直接进行比较时,可在两个数中间
插入一个中间数,间接比较上述两个数的大小
（1）正比例函数
（2）反比例函数
（3）二次函数
（4）幂函数
(1)m=1
(2)m=-1
小 结
(1) 幂函数的定义；
(2)
(3) 利用幂函数的单调性判别幂函数值大小
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
掌握幂函数
的图象和性质
课本第79页 习题2.3第1，2题
作业
练习2 将下列函数序号填在相应图象下面的括号里。
练习3 幂函数 在第一象限的图象如图所示，试比较m、n、p的大小。
练习4 给定函数解析式：

则图象关于y轴对称的函数是＿＿＿；
则图象关于原点对称的函数是＿＿＿；
则互为反函数的两个函数是＿＿＿。
练习5
解:考虑函数
在[0,+∞)上为单调增函数
∴由条件有
解得：
改为：
练习6.证明幂函数 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则

课后作业：

1.比较大小：
（1）0.53/5——0.493/5 （2）8.1-1/5——8.01-1/5

（3）(3/5)- 5——(4/5)- 5 （4） ——
2.求下列函数的定义域：

（1） （2）