新课标
幂函数
问题引入：函数的生活实例
问题1：如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数p = 元， 。
问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积 是S = ， 。
问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积是V = ， 。
问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a= ， 。
问题5：如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = ， 。
w
这里p是w的函数
a²
这里S是a的函数
a³
这里V是a的函数
这里a是S的函数
这里v是t的函数
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:
y = x²
y= x³
以上问题中的函数有什么共同特征？
（1）都是函数；
（2）均是以自变量为底的幂；
（3）指数为常数；
（4）自变量前的系数为1。
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。
一、定义
几点说明:
1、对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3， ，
-1时的情形。
2、幂函数不象指数函数和对数函数，其定义
域随 的不同而不同。
判断下列函数是否为幂函数。
(1) y=x4
(3) y= -x2
(2) y=2x2
(6) y=x3+2
练习1
练习2
二、五个常用幂函数的图象：
(1,1)
(2,4)
(-2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
从图象能得出它们的性质吗?
y=x
在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?
在第一象限内，
当k>0时，图象随x增大而上升。
当k<0时，图象随x增大而下降
不管指数是多少,图象都经过哪个定点?
图象都经过点（1，1）
a>0时,图象还都过点(0,0)点
奇
偶
奇
非奇
非偶
奇
(1,1)
R
R
R
{x|x≠0}
［0,+∞）
R
R
{y|y≠0}
［0,+∞）
［0,+∞）
在R上增
在（-∞，0)上减，
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
在R上增
在［0，+∞）上增，
在（-∞，0]上减,
在［0，+∞）上增，
在(0，+∞)上减
三、幂函数的性质:
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不同而各异.
如果α<0,则幂函数
在(0,+∞)上为减函数。
3.如果α>0,则幂函数
在(0,+∞)上为增函数;
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
定义域
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
非奇非
偶函数
非奇非
偶函数
奇偶性
(二)幂函数的性质(奇偶性)
(1)若函数是非奇非偶函数，则图像只在第一象限内；
(2)若函数是奇函数，则图像在第一、第三象限内；
(3)若函数是偶函数，则图像在第一、第二象限内．
作幂函数大致图像的一般步骤：
二 幂函数在第一象限的图象
利用Excel作出下列幂函数在第一象限的图象
观察（一）
观察（二）
观察（三）
在下列各图中找到适当的表达式的序号：
练习

例1 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
（3）
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
∵5.2<5.3　
∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数
∵0.2<0.3
∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数，
∵2.5<2.7
∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
练习
2）
4）
＜
＜
＞
＞
四、幂函数性质的简单应用
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2;
(2). 作差 f(x1)－f(x2)，变形 ;
(3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号；
(4). 下结论.
例3
证明:任取
所以幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
证明幂函数 在［0，+∞）上是增函数.
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式。
(2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不一定能推出ｆ(x1)<ｆ(x2)。
即
所以
小结
1、幂函数的定义及图象特征？
2、幂函数的性质

(1)幂函数图象过定点(1,1) (2)当α为奇数时,幂函数为
奇函数; 当α为偶数时,幂
函数为偶函数.
(3)当α>0时,在(0,+∞)上为
增函数;当α<0时,在
(0,+∞)上为减函数。
作业
P79习题2.3 1、2、3；
作业
下课了！