幂函数
数学的美无处不在
思考：
函数的完美追求
指数
对数
我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付
__________
P=W 元
(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_____
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积___________
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度
_____________

p是w的函数
S=a²
S 是a的函数
V=a³
V是a的函数
V=t⁻¹ km/s
V是t 的函数
一 生活实例
（4）如果一个正方形场地的面积为s，那么这个 正方形的边长______
a是s的函数
思考：这些函数有什么共同的特征？
它们有以下共同特点：
(1)都是函数；
(3) 均是以自变量为底的幂；
(2) 指数为常数.
幂函数定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
幂函数中α的可以为任意实数.
注意:
议一议:幂函数与指数函数共同点与不同点是什么?
底数
指数
指数
底数
幂值
幂值
幂函数与指数函数的对比
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看看未知数x是指数还是底数
幂函数
指数函数
2.若幂函数y=f(x)的图象过点 ,则函数的解析式为__________
√
x
√
x
√
x
幂函数的图象和性质
研究下面几个幂函数的图象，并归纳幂函数的性质
（1）y=x
幂函数的性质
R
R
R
[0,+∞)
{x|x≠0}
R
R
[0,+ ∞)
[0,+∞)
{y|y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
增
在（－∞，0]上递减在[ 0，＋∞）上递增
增
增
在(－∞,0)上递减
在（0,+∞)上递减
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1)幂函数的图象都通过点
(2) 如果α＞０，
在 区间[0,+∞)上是
如果a＜０，
在区间(0,+∞)上是
当α为偶数时，
幂函数为
探究：幂函数的性质
增函数
减函数
(3) 当α为奇数时，
幂函数为
奇函数
偶函数；
(1,1)
打开几何
X
y
1
1
0
y=x2
y=x3
y=x1/2
X
y
1
1
0
y=x-1
y=x-2
y=x-1/2
a > 0
a < 0
（1）图象都过（0，0）点和
（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值
随x 的增大而增大，即
在[0，+∞)上是增函
数。
（1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数。
（3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x
轴无限接近。
例2、 用不等号填空：
（1）5.1－2 5.9－2；
（2）(a+1)15 __ a15
（3）若3a＞2a，则a 0。
（4）1.30.5 0.51.3；
例题：
＞
＞
＞
＞
例3、如果函数f (x) = (m2－m－1) xm是幂函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，求满足条件的实数m的值。
变式训练：如果幂函数f (x) = xm2-2m-3在区间（0，+∞）上是减函数，求满足条件的实数m的集合。
例题：
1.画出幂函数 的图象，并指出它
的单调性
练习巩固
2.比较下列各组数的大小.
(1)
(2)
练习巩固
1.学习了_____函数的概念；函数一般式为____________
2.利用___________法求幂函数定义域；
3.会利用幂函数在__________内的图象特征解决问题，并会根据______性完成整个函数的图象。
4.利用函数的______性比较几个“同指数不同底数”的幂的大小.
幂
课堂小结
y=xa
还原根式
第一象限
奇偶
单调

分类讨论
数形结合
5、两个数学思想___________ 和 ___________ 。
作业：
1、《教材》P79 1、2
2、预习新课
课后再探究
再见