第二章　基本初等函数
第2课时　对数函数及其性质的应用
1．会利用对数函数的单调性比较两个对数的大小或解对数不等式．(重点、易错点)
2．会求与对数函数有关的函数的最大(小)值或值域．(重点)
3．能综合应用对数函数的图象和性质解决有关问题．(难点)
答案：4
1．比较对数式大小的方法
(1)当对数式同底时，考虑利用对数函数的单调性来比较两个对数式的大小，一般是根据所给对数式的特征，确定一个目标函数，把需要比较大小的对数式看作是对应函数中两个能比较大小的自变量的值对应的函数值，再根据所确定的目标函数的单调性比较两个对数式的大小．
(2)当底数为变量时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小．
(3)若题中所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．
2．解对数不等式或方程
(1)当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)
⇒f(x)＞g(x)＞0；
当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)
⇒0＜f(x)＜g(x)．
(2)当a＞0，a≠1时，logaf(x)＝logag(x)
⇒f(x)＝g(x)且f(x)＞0，g(x)＞0.
注意：利用上述关系解不等式或方程时要特别注意logaf(x)与logag(x)本身有意义的条件，即f(x)＞0且g(x)＞0，否则会产生增解或增根．
3．复合函数y＝logaf(x)单调性问题
函数y＝logaf(x)可以看成是y＝logau与u＝f(x)复合而成，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．
利用复合函数y＝logaf(x)的单调性，可求其值域．
注意：y＝logaf(x)的定义域由f(x)＞0求得．
利用对数函数的单调性比较大小
思路点拨：(1)中两数同底不同真，可利用对数函数的单调性；
(2)中同真不同底，可结合图象判断；
(3)中底数含有字母，需分类讨论．
对数值比较大小的常用方法：
(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，那么要分类讨论；
(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间量；
(3)如果不同底但同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系来解决或利用换底公式化为同底再进行比较；
(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较；
(5)当要比较的两数的底数为字母需要进行分类讨论时，要做到分类不重不漏．
1．比较下列各组数的大小：
(1)loga2.7，loga2.8；
(2)log34，log65；
(3)log0.37，log97.
(2)log34＞log33＝1，
log65＜log66＝1，
∴log34＞log65.
(3)log0.37＜log0.31＝0，
log97＞log91＝0，
∴log0.37＜log97.
解不等式：loga(x－4)＞loga(x－2)．
思路点拨：解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解，注意分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
解简单的对数不等式
常见的对数不等式有三种类型：
(1)形如loga x＞loga b的不等式，借助y＝loga x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如loga x＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝loga x的单调性求解．
(3)形如loga x＞logb x的不等式，可利用图象求解．
对数函数性质的综合应用
【互动探究】 本例中若将函数改为“y＝loga(x＋1)(x－1)(a>0，且a≠1)”，又如何求在(－∞，－1)∪(1，＋∞)上的单调区间．
解：此函数是由y＝logau，u＝(x＋1)·(x－1)＝x2－1复合而成，而u＝x2－1在(－∞，－1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．当a>1时，y＝logau在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性知：y＝loga(x＋1)(x－1)在(－∞，－1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．当0对数型复合函数的单调性
设y＝logaf(x)，(a>0，且a≠1)
首先求满足f(x)>0的x的范围，即函数的定义域．假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单调递减，则：
(1)当a>1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，即在I1上单调递增，在I2上单调递减；
(2)当03．已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．求证：
(1)函数f(x)是偶函数；
(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
规范解答系列(七)　对数型函数的值域(或最值)问题