2.2 对数函数
2．2.2 对数函数及其性质
第2课时
对数函数的性质应用
研 习 新 知
新 知 视 界
1．复合函数y＝logaf(x)，x∈D的单调性：设集合M⊆D，若a>1，且u＝f(x)在x∈M上单调递增(减)，集合M对应的区间是函数y＝logaf(x)的增(减)区间；若0
2．形如y＝f(logax)的函数的最值，通常利用换元的思想方法，即令t＝logax，根据函数的定义域及对数函数单调性确定t的取值范围，即t∈D，转化为求函数y＝f(t)，t∈D的最值问题．
3．(1)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(2)互为反函数的两函数的图象关于直线y＝x对称．
自 我 检 测
1．函数y＝log2|x|的图象大致是( )
答案：A
答案：D
答案：D
4．已知logm7
解析：∵logm7
∴0>log7m>log7n.
∵y＝log7x在(0,1)内递增，∴0
答案：0
互 动 课 堂
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①(1)中底数含有参数；
②(2)中底数相同．
解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式(组)求解．
[点评] (1)解对数不等式问题通常转化为一般不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．
(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．
(3)若含有字母，应考虑分类讨论．
变式体验1 已知loga(2a＋1)
解：(1)当a>1时，原不等式等价于
类型二 对数型函数的单调性问题
[例2] 讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[分析] 本题考查复合函数单调性的判定方法．一般地，设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是给定区间上的单调函数．
(1)若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是增函数；
(2)若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相反，则函数y＝f[g(x)]是减函数．
[点评] 要求复合函数的单调区间，首先要搞清函数的复合关系，即把整个函数分解为若干个单调函数，按照“同增异减”的法则去判断函数的单调性．要讨论函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行，同时，还要注意区间的端点值．
变式体验2 已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是关于x的减函数，求a的取值范围．
类型三 对数函数的最值问题
[例3] 已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相应的x的值．
[分析] 先确定y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．
[解] ∵f(x)＝2＋log3x，x∈[1,3]．
∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6且定义域为[1,3]．
令t＝log3x(x∈[1,3])．因为t＝log3x在[1,3]上是增函数，所以0≤t≤1.
从而要求y＝[f(x)]2＋f(x2)在[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在[0,1]上的最大值即可．
∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞)上是增函数，
∴当t＝1，即x＝3时，ymax＝1＋6＋6＝13.
综上可知，当x＝3时，y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值为13.
变式体验3 已知集合A＝{x|2≤x≤π}，定义在集合A上的函数y＝logax的最大值比最小值大1，求a的值．
思 悟 升 华
1．与对数函数有关的复合函数单调区间的求法
求与对数函数有关的复合函数的单调区间，首要的是弄清楚这个函数是怎样复合而成的，再按“同增异减”的方法来求其单调区间．
2．对于对数型复合函数的综合应用的题目，无论是求最值还是求参数的取值范围，必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．此外在解题过程中一定要注意数形结合方法的灵活应用．
课时作业（20）
