§2.2.2 对数函数及其性质(二)
第二章　基本初等函数（Ⅰ）

定义域： x∈(0，+∞)
过点（1，0），即当x=1时，y=0
函数性质
在(0，+∞)上是增函数
在(0，+∞)上是减函数
对数函数 的图象与性质
复习：
例1. 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log 25 和 log 27
(2) log 0.35 和 log 0.37
(3) log a5 和 log a7 (a>0且a≠1)
解：考察对数函数 y = log 2x,
5
7
（1）log 25 与log 27
得到：log 25＜log 27
log 27
log 25
底数2＞1,所以在(0,+∞)上是增函数,
由图象观察：
（2）log 0.35 与 log 0.37
解：考察对数函数 y = log 0.3 x, 底数为0.3, 即0＜0.3＜1,所以在(0,+∞)上是减函数, 由图象观察：
5
7
log 0.37
log 0.35
得到：log 0.35＞log 0.37
对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大?
（3）log a5 与log a7 ( a＞0 且 a≠1 )
因此需要对底数a进行讨论:
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,故
log a5＞log a7
当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,故
log a5＜log a7
2.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类讨论.
总结
1.当底数相同时,利用对数函数的增减性比较大小.
例2:比较下列各组数中两个值的大小：
log 7 6 log 7 7
log 6 7 log 7 6
log 3 2 log 2 0.8
总结
当底数不相同，真数也不相同时，利用“介值法”
常需引入中间值0或1(各种变形式).
log 6 7 log 6 6
log 3 2 log 3 1
log 2 0.8 log 2 1
＞
＜
＞
＜
= 1
= 1
＞
= 0
= 0
＞
例3：比较下列各组数中两个值的大小：
log 2 7 与 log 5 7
解:∵ 1> log 7 5 ＞ log 7 2 ＞0
∴ log 2 7 ＞ log 5 7
总结
1.利用换底公式的运算，取倒数后转化为同底问题.
7
log 5 7
log 2 7
2.当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小.
（一）同底数比较大小
1.当底数确定时，则可由函数的
单调性直接进行判断；
2.当底数不确定时，应对底数进
行分类讨论。
（三）若底数、真数都不相同, 则常借
助1、0等中间量进行比较。
小结：两个对数比较大小
（二）同真数比较大小
1.通过换底公式；
2.利用函数图象。
例1：解方程
(2)32x+1-13×3x-10=0
(1)log2(2-x)=log2(x-1)+1
X=4/3
X=log35
利用对数的性质，注意函数的定义域
利用指数的性质换元转化为二次方程来求
化归思想：转化为熟悉的方程来解
利用函数的单调性，
结合函数的图象考虑
先将数字用对数形式表示，再利用函数的单调性求解
(1/2,1)
1/3要注意数形结合
(1)1(3)0探 究:
y=2x
指数函数y=2x(x ∈R)与对数函数y=log2x (x∈(0,+∞)) 互为反函数．
一般地，指数函数y=ax(x ∈R)与对数函数y=logax (x∈(0,+∞)) 互为反函数．
X
Y
O
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
7
Y=log2x
Y=X
Y=2x
-1
-1
-2
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
同底指数函数与对数函数的关系
函数与其反函数的关系?
(1)函数与其反函数的对应法则是互逆即互反的。
(2)函数与其反函数的定义域，值域互换。
(4)反函数也是函数，因为它是符合函数定义的,
不是任意函数都有反函数 的.
(3) 函数与其反函数的图象关于y=x轴对称。
1．如何利用对数函数的单调性比较大小？
课堂回顾:
2．如何构建对数函数模型，解决生活中的实际问题？
3．怎样理解同底的指数函数与对数函数互为反函数？
总结点评：注意对数函数定义中定义域限制
(3x-1>0)
(1) log0.41.8 log0.42
(2) log32.4 log32.7 log33.4
(3) log0.62.5 log0.63 log0.60.7
(4) log2n与log2(n+1) (n>0)
(5) log0.2(n2+1)与log0.2 n2 (n≠0)
(6) loga x2与 loga (x2+1) (x≠0)
练习1 . 比较下列各组数中两个值的大小
1995年我国人口总数是12亿，如果人口的自然增长率
控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将大约等于14亿？
解：
设 X年后人口总数超过14亿，依题意得
12.(1+0.0125)X=14
即 1.0125X=14/12，两边取常用对数，
得：X.lg1.0125=lg14-lg12
即：X= (lg14-lg12)/ lg1.0125≈12.4

答：12年后，即2007年我国人口总数将大约等于14亿。
解：
(2)当[H+] =10-7时，pH=-lg10-7=7，所以，
纯净水的pH是7。