2.2.2 对数函数及其性质
a > 1
0 < a < 1
图 象
性 质
定 义 域 : R
值 域 : (0 ,+∞)
过点(0,1),即x=0 时,y = 1.
在R上是增函数
在R上是减函数
复习回顾：函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,其中x是自变量.函数的定义域是 R.
t 能不能看成是 P 的函数？
一般地，函数y = loga x (a＞0,且a≠ 1)叫做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义域是（ 0 , +∞）
判断：以下函数是对数函数的是 （ ）
A y=log2(3x-2) B y=log(x-1)x
C y=log1/3x2 D y=lnx
例1 求下列函数的定义域：
求定义域：（4）对数的真数大于零，底数大于零不等于1.
作图步骤: ①确定定义域;
②列表;
③描点、连线。
对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1)
图象与性质
-3 -2 -1
y
x
0
y＝log2x
1 2 3 4 5 6 7 8
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
列 表
思考
这两个函数的图象有什么关系呢？
关于x轴对称
1 0 -1 -2 -3
-1 0 1 2 3
对数函数的图象和性质
(1)定义域: (0, +∞)
(2)值 域: R
(3)过点 (1, 0), 即 x=1 时, y=0.
(4)在 (0, +∞) 上是增函数.
(4)在 (0, +∞) 上是减函数.
当底数大于1时，底数越大，
图象越靠近 x 轴
底数大小对图象的影响
1
o
y
x

1
底数大于零不等于1时，底数越小，
图象越靠近 x 轴
底数大小对图象的影响
底数a>1时,底数越大,其图像越接近x轴。
底数0补充性质二
底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称。
补充性质一
图
形
例8、比较下列各组数中两个数的大小：
（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5
解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
且 3 . 4 ＜8 . 5
∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5
例8、比较下列各组数中两个数的大小：
（2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7
解：∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数
且 1 . 8 ＜2 . 7
∴ log 0 . 3 1 . 8 ＞ log 0 . 3 2 . 7
若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断.
例8、比较下列各组数中两个数的大小：
（3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9
若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 )
例2：比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log 6 7 与 log 7 6
解：∵ log 6 7 ＞ log 6 6 = 1
且 log 7 6 ＜ log 7 7 = 1
∴ log 6 7 ＞ log 7 6
（2） log 3 π 与 log 2 0 . 8
解：∵ log 3 π ＞ log 3 1 = 0
且 log 2 0 . 8 ＜ log 2 1 = 0
∴ log 3 π ＞ log 2 0 . 8
若底数、真数都不相同,则常借助1、0、－1等中间量进行比较
例2：比较下列各组数中两个值的大小：
（3） log 2 7 与 log 3 7
解：∵ log 7 3 ＞ log 7 2 ＞0
∴ log 2 7 ＞ log 3 7
（4） log 0 . 2 0 . 8 与 log 0 . 3 0 . 8
解：∵ log 0 . 8 0 . 2 ＞ log 0 . 8 0 . 3
且 log 0 . 8 0 . 2 、 log 0 . 8 0 . 3 ＞0
∴ log 0 . 2 0 . 8 ＜ log 0 . 3 0 . 8
若真数为同一常数,先用公式变为底数为同一常数，
再利用对数函数的单调性进行判断.
<
>
<
>
口答：比较下列各题中两个值的大小
(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若真数为同一常数,先用公式变为底数为同一常数，再利用对数函数的单调性进行判断.
(3)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、－1等中间量进行比较
比较两个对数值的大小的方法：
例9：溶液酸碱度是通过pH刻画的。pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
(1)、根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)、已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH。
解：当[H+]=10-7时，pH= -lg10-7=7．所以，纯净水的pH是７．
胃酸中氢离子的浓度是2.5×10－２摩尔/升，胃酸的pH是多少？
胃酸pH= -lg 2.5×10－２ 　　　　　= -lg2.5 +2≈1.6
在指数函数y=2x中，x为自变量，y为因变量．如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．
根据指数与对数的关系：
对于任意一个y∈(0,+∞)，通过式子x=log2y，x在Ｒ中都有唯一确定的的值和它对应．也就是说，可以把y看作为自变量，x作为y的函数．
这时我们就说x=log2y (y∈(0,+∞))是函数y=2x(x ∈R)的反函数．
习惯上，我们用x表示自变量，y表示因变量，y是x的函数
把x=log2y 写成y=log2x
因此，对数函数y=log2x (x∈(0,+∞))是指数函数y=2x(x ∈R)的反函数．
指数函数y=2x(x ∈R)与对数函数y=log2x (x∈(0,+∞)) 互为反函数．
一般地，指数函数y=ax(x ∈R， a ＞ 0 且 a ≠ 1 )与对数函数y=logax (x∈(0,+∞)，a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 互为反函数．
对数函数y=log2x与指数函数y=2x的图象
互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。
一般地，指数函数y=ax(x ∈R， a ＞ 0 且 a ≠ 1 )与对数函数y=logax (x∈(0,+∞)，a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) 互为反函数．
小 结
二、对数函数的图象和性质;
三、比较两个对数值的大小.
一、对数函数的定义;