第23章复习
第23章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离　 　.
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于　 　.
(3)旋转前、后的图形　 　.
2．中心对称的性质与判定
性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过　 　，并且被平分；(2)中心对称的两个图形是　 　.
相等
旋转角
全等
对称中心
全等图形
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判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这点对称．
3．中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转　 　，如果旋转后的图形能够与原来的图形　 　，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的　 　.
4．关于原点对称的点的坐标
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号　 　，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′　 　.
180°
重合
对称中心
相反
(－x，－y)
► 考点一　中心对称图形和轴对称图形
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例1　下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是(　　)
图23－1
B
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[解析] B　根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知A是轴对称图形，但不是中心对称图形；B是中心对称图形，但不是轴对称图形；C是轴对称图形，但不是中心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形．
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► 考点二　与旋转变换有关的作图问题
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例2　如图23－2所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(－6,1)，点B的坐标为(－3,1)，点C的坐标为(－3,3)．

图23－2
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(1)将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2.
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[解析] 本题是一道平移和旋转作图题，先根据平移的特征，可以先确定点A，B，C平移后的对应点A1，B1，C1.然后顺次连接A1B1，B1C1，C1A1，即得平移后的三角形；根据旋转的特征，确定点A1，B1，C1旋转后的对应点A2，B2，C2，然后顺次连接三个点即得Rt△A2B2C2.
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解：(1)A(－1,1)，如下图；(2)如下图．
图23－3
图23－3
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► 考点三　图案设计问题
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例3　用四块如图23－4(1)所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图23－4(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
图23－4
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解：解法不唯一，如图23－5：
图23－5
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► 考点四　旋转中的计算问题
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例4　如图23－6所示，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，BB′＝1 cm，则A′B的长是________cm.
图23－6
3
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[解析] 由旋转可知，△OAB≌△OA′B′，所以A′B′＝AB＝4 cm，所以A′B＝A′B′－B′B＝3(cm)．
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► 考点四　旋转中的计算问题
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例5　如图23－7①，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.
图23－7
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(1) 线段AF和BE有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2) 将图23－7①中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图23－7②，(1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；
(3) 将图23－7①中的△ABC绕点C旋转一定的角度，画出变换后的图形，(1)中的结论是否还成立？
(4) 根据以上的活动，归纳你的发现．
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[解析] 解答本题时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律．对于(1)问，利用三角形全等证明即可；对于(2)、(3)问，要明确在旋转的过程中，虽然△CEF或△ABC发生了变化，但二者之间全等的关系没变．故结论成立．
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解：(1)结论：AF＝BE.证明如下：
在△ACF和△BCE中，AC＝BC，∠ACF＝∠BCE＝60°，FC＝EC，
∴△ACF≌△BCE，
∴AF＝BE.
(2)AF＝BE这一结论仍然成立，理由是：
在△ACF和△BCE中，AC＝BC，FC＝EC，∠ACF＝∠ACB－∠FCB＝60°－∠FCB＝∠FCE－∠FCB＝∠BCE，
∴ △ACF≌△BCE，∴AF＝BE.
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(3)如图23－8，AF＝BE这一结论也是成立的．

图23－8
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在△ACF和△BCE中，AC＝BC，FC＝EC，∠ACF＝∠ACB＋∠BCF＝60°＋∠BCF＝∠FCE＋∠BCF＝∠BCE，
∴ △ACF≌△BCE，∴AF＝BE.
(4)　只要两个等边△ABC和△CEF有公共顶点C，不论两个三角形旋转至怎样的位置，总有AF＝BE.
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